1.2. Классическое определение вероятности

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определённая мера.

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события.

Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, определим его количественно.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможные. Такие исходы называются элементарными исходами, случаями или шансами. Случай называется благоприятствующим (благоприятным) событию A, если появление этого случая влечет за собой появление события A.

Классическое определение вероятности. Вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу элементарных исходов опыта:

,

где - вероятность события A; m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – общее число элементарных исходов.

Пример 9. Текст «Капитанской дочки» А.С. Пушкина состоит из 29343 словоупотреблений. Формы слова быть встречаются здесь 430 раз. Определить вероятность появления в тексте «Капитанской дочки» форм слова быть?

Решение. Пусть событие A={появление в тексте форм слова быть}, тогда

.

Из классического определения следуют свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события всегда равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события заключена между нулём и единицей, т. е.

.

4. Вероятность противоположного события равна дополнению вероятности данного события A до 1, т. е.

.

При расчёте вероятности по классическому методу часто применяют комбинаторный анализ или комбинаторику.

Основные формулы комбинаторики. Комбинаторика изучает количество комбинаций, которое можно составить из элементов любой природы, заданного конечного множества. Приведём наиболее употребительные соотношения.

Число комбинаций. Пусть имеется m множеств по элементов в каждом. Выбрать по одному объекту из каждого множества можно способами.

Пример 10. В группе 16 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 16 студентов, его заместителем – любой из оставшихся 15, а профоргом – любой из оставшихся 14 студентов, т. е. n₁=16, n₂=15, n₃=14. Общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно .

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

,

где факториал , а факториал .

Пример 11. Сколько трёхсловных предложений можно построить из трёх слов: сегодня, идет, дождь?

Решение. Число предложений равно числу перестановок из трёх элементов:

.

Перестановки с повторениями. Если в перестановках из общего числа n элементов есть m различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n₁ раз, 2-й элемент – n₂ раз, m-й элемент – n_k раз, причем n₁+ n₂+…+ n_k=n, то такие перестановки называют перестановками с повторениями из n элементов. Число перестановок с повторениями из n элементов равно

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений равно

.

При n= m, .

Пример 12. Сколько имеется вариантов занятия трех призовых мест 8 спортсменами одного уровня?