Составление характеристического уравнения системы.
Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных токов. Положим, что p известно (пока не найдено) и решим систему методом Крамера:
;
;
; где
– определитель системы.
;
;
;
.
Так как в 1, 2, 3 один из столбцов равен нулю, то 1, 2, 3 равны 0, а свободные токи могут быть не равными 0 тогда, когда =0.
=0 – называют характеристическим уравнением. Единственным неизвестным в нем является p.
Раскрыв
неопределенность
(
), можно найти свободные токи. Делать
этого не будем.
Характеристическое уравнение для определения p часто составляют более простым способом. Для этого составляют выражение входного сопротивления двухполюсника – Z(iw), заменяют jw=p и приравнивают Z(p)=0.
Уравнение Z(p)=0 совпадает с характеристическим. Такой способ составления характеристического уравнения предполагает, что в сети отсутствует магнитно-связные цепи.
Пример: Для схемы на рис. 5.3 составить характеристическое уравнение и найти его корни, считая известным все элементы цепи.
Решение:
I
способ:
=0
или .
Если дробь равна нулю, то равен нулю числитель, то есть
.
Затем находим корни квадратного уравнения.
II способ: Для этой же схемы входное сопротивление относительно входных зажимов при переменном токе:
.
Заменим jw на p и приравняем к нулю:
,
или .
После составления характеристического уравнения необходимо найти его корни, чтобы определить свободные составляющие реакции цепи.
Общий вид свободной составляющей реакции цепи в случае, когда корни характеристического уравнения различные, имеет вид:
,
то
есть каждому корню pi
соответствует слагаемое свободной
составляющей вида:
Если
среди корней характеристического
уравнения есть два равных корня p1=p2=
–a,
то соответствующие слагаемые решения
должны быть взяты в виде:
Определение постоянных интегрирования в классическом методе.
Как известно из предыдущего, решение для любого свободного тока (напряжения) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти:
числовое значение искомого тока при t=0+;
числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока при t=0+ . Обозначим их iсв(0+); i’св(0+); i’’св(0+) и т. д.
Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования A1; A2;…; An , полагая известными iсв(0+); i’св(0+);… и значения корней p1; p2;…; pn. Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то iсв = Aept. Постоянная интегрирования A = iсв(0+).
Если дано характеристическое уравнение второй степени, и его корни действительны и не равны, то
Продифференцируем
по t:
Решая
совместно два уравнения:
,
найдем A1 и A2.
Пример:
i1
R’1 R1 i2 i3
E c r2
Дано:
R1=R’1=R2=50 Ом,
С=100 мкФ,
Е=150 В.
Рис. 5.4
До замыкания ключа был установившийся режим. Найти:
полные, свободные и принужденные составляющие токов i1, i2, i3 и uc при t=0+ .
Определить i1, i2, i3 и uc как f(t) (построить графики).
Решение:
Анализ цепи до коммутации
i2(0–)=0,
А
.
uc(0–)= i3(0–)R2=50 В.
Независимые начальные условия
uc(0–)= uc(0+)=50 В.
Составление дифференциального уравнения после коммутации
а) i1(0+)R1+ uc(0+)=E ,
б) uc(0+)= i3(0+)R2 ,
в) по первому закону Кирхгофа: i1(0+)= i2(0+)+ i3(0+) .
i2(0+)= i1(0+) – i3(0+)=2–1 = 1 А.
Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при t)
Определение свободной составляющей реакции цепи.
Характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы:
pR1R2C
+ R1
+ R2=0
;
Следовательно, свободная составляющая имеет вид:
iсв = Aept.
В послекоммутационный момент:
uc св(0+)= uc(0+) – uc пр = -25 В = Au,
i1св(0+)= i1(0+) – i1пр = 2 – 1.5 = 0.5 A =A1,
i2св(0+)= i2(0+) – i2пр = 1 A =A2,
i3св(0+)= i3(0+) – i3пр = -0.5 A =A3.
Общий вид реакции цепи (суммирование свободных и принужденных составляющих реакции цепи)
i1 = 1.5 + A1e-400t ,
i2 = A2e-400t ,
i3 = 1.5 – A3e-400t ,
uc = 75 – Aue-400t .