18

Некоторые свойства преобразования фурье

Между сигналом f(t) и его спектром S(jw) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменению спектра.

Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим сдвиг спектра сигнала по и некоторых других свойств преобразования Фурье.

Смещение спектра сигнала

Пусть есть функция f(t) . Найдем спектр произведения

f(t) cos(w₀ t+ j₀).

Расщепление спектра S(w) на 2 части, смещенный соответственно на +w₀ и - w₀ эквивалентно умножению функции f(t) на гармоническое колебание cos(w₀ t) (при j₀ =0). Один из случаев смещения спектра сигнала – смещение его при модуляции.

Вкратце рассмотрим одну из разновидностей - амплитудную модуляцию. Пусть задано высокочастотное модулированное колебание, о котором известно, что частота w₀ и начальная фаза j₀ величины постоянные, а огибающая A(t) содержит в себе передаваемое сообщение f(t) .

Установим связь между спектром модулированного колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром исходного сообщения. Проще и нагляднее всего это можно сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая

А модулированное колебание определяется выражением

Первое слагаемое – колебание несущей частоты, Второе – можно привести к виду

Рис. 7.17

На рис. 7.17 представлен спектр такого модулированного сигнала, а на рис. 7.18 – временные развертки низкочастотного, высокочастотного и амплитудно-модулированного сигналов.

Если отфильтровать сигнал, оставив только одну боковую составляющую, то при том, что это будет высокочастотный сигнал, который будет содержать информацию без огибающей тонального сигнала.

Рис. 7.18

Преобразование Фурье является линейной операцией. Это означает, что если в процессе преобразований сигнал f(t) усиливается или ослабляется в k раз, что математически записывается как f₁ (t) = k f (t) , то во столько же раз усиливается или ослабляется спектральная плотность

Если сигнал является суммой сигналов, т.е. S₃ (t) = S₁ (t) + S₂ (t) , с известными спектральными плотностями S₁ (jw) и S₂ (jw) , то

S₃ (jw) = S₁ (jw) + S₂ (jw) . При этом необходимо помнить, что суммируются комплексные функции, следовательно результат сложения определяется не только амплитудами соответствующих спектральных составляющих, но и их фазами.

Пример .

На рисунке 7.18 показан случай суммирования двух одинаковых прямоугольных импульсов. Т.к. оба сигнала одинаково расположены относительно начала координат, они имеют идентичные спектры и при сложении осуществляется простое удвоение спектральной плотности амплитуд одного импульса (показано на рис. 7.18 (в)).