23

5. Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Переходные процессы – процессы перехода от одного режима работы электрической цепи к другому, чем-либо отличающемуся от предыдущего (например, амплитудой, фазой, частотой).

Переходные процессы часто вызываются коммутацией в цепи (процессом замыкания или размыкания выключателей).

Обычно переходные процессы являются быстро протекающими, тем не менее, изучение переходных процессов важно, так как дает возможность установить, как деформируются сигналы по форме и амплитуде при прохождении их через цепи, фильтры и другие устройства, позволяет выявить превышение напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными, а также определить длительность переходных процессов. Последнее также играет в электрических устройствах немаловажную роль, ведь из быстродействия отдельных элементов при суммировании складывается быстродействие всего устройства.

Переходные процессы, связанные с изменением топологии цепи или различными коммутациями пассивных элементов, присущи в основном устройствам производства, передачи и преобразования электрической энергии. Для радиотехнических устройств более характерен режим, когда топология цепи и параметры пассивных элементов неизменны, а внешнее воздействие на цепь меняется по произвольному (чаще всего непериодическому) закону.

Началом отсчета времени неустановившихся процессов, имеющих место в радиотехнических цепях, обычно называют моментом коммутации.

Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначим “0_–“, а сразу после мгновенной коммутации – “0₊”.

Задача о переходном процессе (с неизменными во времени R,L,C) можно привести к решению линейного дифференциального уравнения.

Рассмотрим, например, схему на рис. 5.1:

R L

E

Рис. 5.1

При замкнутом ключе по второму закону Кирхгофа:

u_L+Ri=E или .

Таким образом, определение тока как функции времени по сути дела есть решение дифференциального уравнения.

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. При этом соблюдаются 2 основных положения: ток через индуктивность и напряжение на емкости не могут измениться скачком.

Доказательство того, что ток через индуктивность не может измениться мгновенно приведем на примере вышеуказанной схемы. По второму закону Кирхгофа:

.

Допустим, что ток i может изменяться скачком. Скачек тока означает, что за бесконечно малый интервал времени t0 ток изменится на конечную величину i. При этом .

Левая часть уравнения не равна правой, второй закон Кирхгофа не выполняется. Следовательно, наше предположение неверно.

Доказательство того, что напряжение на емкости не может изменяться скачком, можно произвести аналогично.

Обратимся к простейшей цепи с емкостью (см. рис. 5.2).

R С

E

Рис. 5.2

Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа:

, где

Е – эдс источника, конечная величина;

u_c – напряжение на емкости.

Так как , то.

Если допустить, что напряжение u_c может изменяться скачком, то

;

Левая часть не равна правой, что противоречит второму закону Кирхгофа.

Из доказанных двух основных положений следуют два закона (правила) коммутации.

I закон коммутации:

Ток через индуктивность непосредственно до коммутации i_L(0_–) равен току через туже индуктивность непосредственно после коммутации:

i_L(0_–) = i_L(0₊).

II закон коммутации:

u_c(0_–) = u_c(0₊).

В общем случае задача анализа переходных процессов заключается в определении мгновенных значений токов или напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации и может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при t>0.

Возвратимся к приведенному выше примеру (см. рис. 5.1).

–линейное дифференциальное уравнение.

Как известно из курса математики общее решение подобного уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Однородное уравнение получаем из исходного, если начальные условия нулевые. В нашем случае:

.

Можно разделить переменные, и общее решение будет иметь вид:

где

Дальнейшее решение можно произвести по готовым формулам или известным методам. В итоге будет получено общее решение неоднородного уравнения.

.

Принужденной составляющей тока (напряжения) называют составляющую, задаваемую действующими в цепи независимыми источниками энергии.

Проверка: .

Следовательно, решение верно.

Принужденная составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая эдс.

Название “свободная” объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без принуждающей части).

Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает (стремится к нулю) при t, а принужденная составляющая представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации.