37

^{Рассмотрим} комплексную проводимость:

.

В нормированном виде:

1/R – максимальное значение проводимости,

Безразмерное отношение называют

обобщенной расстройкой контура.

w – абсолютная расстройка ( w=w–w_р );

x=w / w_р= f / f_р – относительная расстройка.

При частоте , называемой резонансной частотой

контура, обобщенная расстройка равна 0. Проводимость контура оказывается чисто активной и максимальной по модулю. Как следствие, ток в контуре, питаемом от источника эдс, на данной частоте и в ее окрестностях резко возрастает. Это явление и называют резонансом.

На рис. 2.21 представлены векторные диаграммы контура при разных частотах.

Если w<w₀ (случай а), то комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе по модулю превосходит

комплексную амплитуду напряжения на катушке.

При этом ток в контуре опережает по фазе приложенное напряжение.

Im

Re

Im

Re

Im

Re

а) б) в)

Рис. 2.21

Если w=w₀ (случай б), то происходит компенсация на реактивных элементах, ток и приложенное напряжение синфазны. Между емкостным и индуктивным элементами происходит реактивный обмен энергией.

Наконец, при w>w₀ (случай в) результирующее сопротивление контура оказывается индуктивным и напряжение опережает ток по фазе.

Формулу обобщенной расстройки можно преобразовать:

Вводится безразмерный параметр

называемый добротностью контура, который характеризует качество колебательной системы.

Реактивное сопротивление на резонансной частоте называется характеристическим сопротивлением контура.

Затухание колебаний в контуре.

Как уже говорилось, реальный колебательный контур всегда содержит активное сопротивление, в котором в процессе колебаний часть энергии колебательного контура безвозвратно расходуется на тепло. Степень затухания зависит, главным образом, от активного сопротивления контура. Из двух контуров, имеющих одинаковые L и C, но разные активные сопротивления, колебания быстрее затухают в контуре, где активное сопротивление выше.

С точки зрения затухания колебаний, контур характеризуется декрементом затухания, показывающим, какая часть энергии расходуется в контуре на тепло за половину периода.

, где

W _R – расходуется в R_акт за ½T ;

W_L – полное количество колеблющейся энергии.

Декремент затухания:

Чем меньше волновое сопротивление, тем выше амплитуда тока в контуре и тем больше количество энергии превращается в тепло в активном сопротивлении R при той же его величине.

Кроме декремента затухания на практике пользуются понятиями «затухание контура» и «добротность».

Затуханием контура называется отношение:

Величину, обратную затуханию, называют добротностью:

На рис. 2.22 представлен ряд резонансных кривых. Чем больше Q, тем острее резонансная кривая, тем лучше «избирательные свойства цепи», что и послужило одной из причин назвать Q – добротностью колебательного контура.

I / I_р Q=0.5

1 Q=1

Q=10

1 w=w/w_р

Рис. 2.22

Если Q>>1, то даже малое отклонение частоты от резонансной вызывает резкое увеличение обобщенной расстройки и, как следствие, существенное уменьшение тока. На этом основано применение последовательного колебательного контура в качестве частотно избирательной цепи. На практике часто бывает необходимо, чтобы колебательный контур пропускал полосу частот, соответствующую спектру сигнала.

Полосой пропускания называется полоса частот, в пределах которой ток в контуре уменьшается не более чем в 2 раза по сравнению с током при резонансе. На рис.2.23 изображена резонансная кривая последовательного колебательного контура, на которой обозначена полоса пропускания 2f.

I_к

I_рез

f₀ f

2f

Рис. 2.23

Связь между полосой пропускания и добротностью устанавливается следующим соотношением:

Пусть к последовательному контуру приложено синусоидальное напряжение, амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться от 0 до бесконечности: частотные характеристики такого контура (с добротностью Q 1,25) будут иметь примерно такой вид (см. рис. 2.24):

x

x_L=wL

x=x_L+x_c

w

–x_c= –1/wC

Рис.2.24

– амплитудное значение;

U_c, U_L, I,

QU U_c U_L

U_k

/2

I

w₀ w

–/2 _z

I

Рис.2.25: АЧХ напряжений на L, C и тока, а также ФЧХ для тока, текущего в последовательном колебательном контуре.

Пример: Последовательный колебательный контур имеет следующие параметры компонентов:

L=6 мкГн,

С=10 нФ,

R=3 Ом.

Определить резонансную частоту (Гц), характеристическое сопротивление , добротность контура Q и полосу пропускания.

Решение:

На основании приведенных выше формул:

Полоса пропускания: