20

6. Операторный метод анализа электрических цепей.

Операторный метод основан на использовании понятия об изображении функции времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой p, и наоборот – функции переменной p отвечает определенная функция времени.

Переход от функции времени к функции p осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа. В отличие от классического метода расчета, где решаются системы дифференциальных уравнений, операторный метод сводит операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования – к делению.

Под p условимся принимать комплексное число p = + j (можно рассматривать как комплексную частоту). Функцию времени (ток, напряжение) обозначают f(t) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p) – изображение. Соответствие F(p) = f(t) устанавливается с помощью преобразований:

• прямое преобразование Лапласа:

(1)

• обратное преобразование Римана-Мелина:

(2)

Наряду с преобразованием Лапласа применяется преобразование Карсон-Хэвисайда:

.

Найдем изображение некоторых простейших функций:

1. Изображение постоянной. f(t)=A

2. Изображение показательной функции .

Интеграл сходится только в случае, если действительная часть оператора p > .

Из последней формулы следует, что

.

3. Изображение первой производной .

.

Произведем интегрирование по частям.

e^-pt = u и d[f(t)] = dv ;

;

Исходя из этого:

;.

Таким образом,

.

На индуктивности: .

4. Изображение интеграла

5. .

.

Проинтегрируем по частям:

Изображение напряжения на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе u_c часто записывают в виде:

,

где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

,

где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекающим через C в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжением u_c(0), которое было на нем при t=0.

Поэтому: .

Простейшие операторные соотношения содержатся в справочном материале многих учебных пособий в виде готовых таблиц.

Отметим основные свойства преобразования Лапласа:

1. Соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначно: каждой функции f(t) соответствует F(p) и наоборот.

2. При умножении оригинала f(t) на постоянную величину , умножается и изображение:

f(t) . = F(p) .

3. Изображение суммы функций равно сумме изображений этих функций.

Теоремы операционного исчисления (с учетом f(t) = F(p).

Теорема подобия:

Умножение аргумента оригинала на положительное число a (a>0) приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число a:

.

Теорема запаздывания:

Запаздывание функции на время t₁ соответствует умножению ее изображения на :

.

Теорема смещения (затухания):

Умножение функции f(t) на экспоненциальный множитель e^–t ведет за собой «смещение» в области аргумента изображения с p на p+:

.

Пример 1 :

Найти оригинал , если известно, что .

Решение:

По теореме смещения:

.

Теорема дифференцирования изображений:

Дифференцирование изображения F(p) по p соответствует домножению оригинала на (–t):

F’(p) = – t f(t) .

Остановимся более подробно на переходе от изображения к оригиналу. Использование интеграла Римана-Мелина требует применения методов теории вычетов, поэтому на практике наибольший интерес с точки зрения экономии времени представляет возможность определения оригиналов по известным изображениям с помощью таблиц и теорем.

Пример 2 : Найти оригинал изображения:

.

Решение:

1. F(p – ) . = e^t f(t) – теорема смещения.

2. –теорема запаздывания.

3. (см. предыдущий пример).

4. (1) и (3) .

5. (4) и (2) .

Пример 3 : Найти изображение функции

f(t) = 3t sin ₀t , при t>0,

с учетом того, что .

Решение:

Согласно теореме дифференцирования изображения:

F’(p) . = – t f(t) .

.

Если же изображение искомой функции получилось сложным и его не оказалось в самых подробных таблицах, то следует воспользоваться аналитическими методами. В частности – использовать теорему разложения. Эта теорема позволяет по известному изображению функции в виде рациональной дроби:

найти соответствующий ей оригинал, где

B(p) = b_mp^m + b_m-1p^m-1 + … + b₁p + b₀ = b_m (p–p₁)(p–p₂)…(p–p_m) .

p₁, p₂, … , p_m – корни уравнения B(p)=0.

Теорема разложения аналитически представляется формулой:

.

Доказательство:

.

Из курса математики известно, что если n<m, a_k и b_k – вещественные числа, а корни p₁, p₂, … , p_m уравнения B(p)=0 различные, то дробь может быть представлена в виде суммы простых дробей:

.

Для определения коэффициента A₁ умножим обе части уравнения на (p–p₁):

.

Рассмотрим это выражение при pp₁. Правая часть дает A₁, левая представляет собой неопределенность, так как множитель (p–p₁) дает ноль, и знаменатель B(p) при p=p₁ тоже обращается в ноль.

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя, и найдем предел дроби.

, где

B’(p) – производная от B(p) по p,

B’(p₁) – значение B’(p) при p=p₁,

A(p₁) – значение A(p) при p=p₁.

Следовательно, при pp₁ получаем уравнение:

.

Аналогично: .

Таким образом,

.

Пусть изображение какой-либо функции времени, например тока, представлено в виде дроби:

.

Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части является i(t). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слагаемых. Так как множители – есть постоянные числа, а функциямиp являются множители , которым соответствуют функции времени вида. Поэтому:

.

Последовательность вычислений по формуле такова:

1. Приравниваем B(p) к нулю и определяем корни p₁, p₂, … ,p_n.

2. Вычисляем производную B’(p) и подставляем в нее корни p₁, p₂, … ,p_n (поочередно).

3. Подставляем в числитель корни p₁, p₂, … ,p_n. Определяем его значения – A(p_k).

4. Вычисляя отдельные слагаемые и суммируя их, определяем оригинал f(t).

Пример: Пусть . Получитьf(t).

Решение:

I способ: преобразовать I(p) так, чтобы получить табличные изображения:

II способ: Используем теорему разложения:

A(p) = 0.4p + 200 ;

B(p) = p(0.2p + 500) .

Вычислим корни B(p)=0:

p(0.2p + 500) = 0 p₁ = -2500 c^-1

p₂ = 0 .

A(p₁) = -800 , A(p₂) = 200 ;

B’(p) = 0.4p + 500 ;

B’(p₁) = -500 , B’(p₂) = 500 .

Подставляя найденные значения в формулу разложения, получим:

.

Замечания к формуле разложения:

1. Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения источника эдс или тока, воздействующего на схему.

2. Если уравнение B(p)=0 имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые в формуле разложения оказываются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое.

Пример: . f(t) – ?

Решение:

p_1,2 = -1000 j2000 c^-1.

B’(p) = 2p + 2000 B’(p₁) = j4000

B’(p₂) = -j4000 .