Метод операторных параметров.

Связь между напряжениями и токами в различных элементах цепи может быть выражена в операторной форме. Примем, что в начальный момент времени ток в индуктивности и напряжение на емкости равны нулю:

i_L(t)|_t=0 = 0 ; u_c(t)|_t=0 = u_c(0) = 0 .

При таких нулевых начальных условиях закон Ома для элементов цепи в операторной форме можно представить в виде соотношений:

u_R(p) = Ri_R(p) ; u_L(p) = Lpi(p) ; i_c(p) = pCu_c(p) .

При этом приходим к понятию операторных сопротивлений и проводимостей:

Эти операторные параметры цепи совпадают по форме с комплексными сопротивлениями и проводимостями, лишь множитель j заменяют множителем p. С операторными параметрами можно производить те же действия, что и с комплексными: при последовательном соединении элементов складываются их операторные сопротивления, а при параллельном – операторные проводимости.

Использование операторных параметров существенно упрощает расчет цепей при произвольных внешних воздействиях, особенно если выполняются нулевые начальные условия. При этом уравнения, описывающие процессы в цепи можно составлять сразу в операторной форме. Например, операторный ток в RL цепи может быть найден без составления дифференциальных уравнений состояния и последующего его решения. Достаточно воспользоваться законом Ома в операторной форме:

.

Затем находится искомый операторный ток или напряжение, после чего осуществляется переход от операторных параметров к временным. В этом и заключается метод операторных параметров.

Метод операторных схем.

При ненулевых начальных условиях соотношения между токами и напряжениями на емкостях и индуктивностях принимают следующий вид:

что соответствует эквивалентым операторным схемам, показанным на рисунке 6.1:

(а) Рис. 6.1 (б)

i_L(p)

z_L(p)=pL

u_L(p)

e_L(p)=Li_L(0)

i_c(p)

Y_c(p)=pC

u_c(p)

J_c(p)=Cu_c(0)

Соотношения можно представить иначе:

С другими эквивалентными операторными схемами (см. рис. 6.2):

i_c(p)

u_L(p)

e_c(p)=

i_L(p)

u_с(p) J_L(p)=

(а) Рис. 6.2 (б)

Операторная эквивалентная схема цепи имеет такую же структуру, как и эквивалентная схема цепи для мгновенных значений, но содержит дополнительные независимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации.

Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из известных методов (в частности, законов Кирхгофа) сформировать систему уравнений и электрического равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цепи после коммутации.

Таким образом, при ненулевых начальных условиях необходимо составить эквивалентную операторную схему цепи. Затем процессы анализируют методом операторных параметров.

В операторной форме законы Кирхгофа выглядят так: