2. Кратные интегралы

П усть имеется некоторая поверхность, задаваемая в трехмерном пространстве функцией z = f(x, y). На плоскости xOy выделена некоторая фигура G, в точках которой f(x, y)  0. Через каждую точку ее границы проведена вертикальная прямая, называемая образующей; эти прямые вместе образуют цилиндрическую поверхность. (Обычная круговая цилиндрическая поверхность образуется таким же образом: образующие проходят через границу круга). Требуется определить объем тела, ограниченного этой цилиндрической поверхностью, плоскостью xOy и поверхностью z = f(x, y).

Для решения этой задачи покроем плоскость xOy сеткой квадратов площадью ∆. В каждом квадрате, попавшем в область G, выберем точку (x_i, y_i), где i – номер квадрата. Построим прямоугольный параллелепипед, основанием которого является этот квадрат, а высота равна f(x_i, y_i). Эти параллелепипеды в совокупности образуют тело, близкое к измеряемому. Сумма их объемов приближенно равна искомому объему, причем чем меньше ∆, тем точнее это приближение. В пределе при ∆→ 0 получаем точное значение искомого объема. (На самом деле приведенные рассуждения годятся для достаточно простого случая, а в общем случае построение более тонкое).

Если в область G попало n квадратов и их стороны равны ∆x и ∆y, то ∆ = ∆x∆y, и сумма объемов параллелепипедов вычисляется по формуле

= .

Предел этой суммы называется двойным интегралом по области G от функции f(x, y) и обозначается

Для вычисления двойного интеграла его сводят к вычислению простых интегралов. Сначала выбирают порядок интегрирования. Пусть область G на плоскости xOy ограничена слева и справа прямыми x = a, x = b, а снизу и сверху графиками y = (x), y = (x) соответственно. Тогда двойной интеграл приводим к виду

= .

При этом при вычислении внутреннего интеграла по переменной y переменную x рассматриваем как константу.

П ример 1.4.3. Вычислить интеграл по области D, ограниченной линиями y = x² и y = x – 2.

Решение. Изобразим область D на рисунке. Точки пересечения линий найдем, решив уравнение x² = x – 2. Получаем x = –2 и x = 1. Это будут пределы интегрирования для внешнего интеграла. Получаем

= = = = = = = = = = .

Аналогично двойному можно рассматривать тройной интеграл по пространственной области. С его помощью можно находить массу тела неоднородной плотности, силу притяжения двух близко расположенных тел и другие задачи.

У п р а ж н е н и я

1.4.1. Найдите частные производные первого и второго порядка по всем переменным для следующих функций: