2. Определенный интеграл

Пусть требуется найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x= a, x = b при условии, что f(x) неотрицательна на отрезке [a, b]. Такая фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a, b] является ее высотой и боковой стороной, то есть трапеция «лежит на боку». Другая боковая сторона криволинейна, она образована графиком функции y = f(x). Основания трапеции лежат на прямых x= a и x = b; возможно, одна из них или обе вырождаются в точки.

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной ∆x = . Точки деления обозначим x₀ = a, x₁, x₂, … , x_n = b. Через каждую из этих точек проведем вертикальную прямую. В результате криволинейная трапеция разобьется на п криволинейных трапеций высотой ∆x. Для приближенного вычисления площади заменим каждую из них на прямоугольник с основанием ∆x, а высоты этих прямоугольников возьмем равными f(x₀), f(x₁), … , f(x_n_–1) соответственно. Эти в ысоты являются левыми основаниями соответствующих криволинейных трапеций.

Сумма площадей прямоугольников равна (f(x₀) + f(x₁) + … + f(x_n_–1))∆x. Она отличается от площади криволинейной трапеции на небольшую величину: на рисунке верхняя граница криволинейной трапеции гладкая, а у объединения треугольников – ступенчатая. Разница между площадями образована небольшими заштрихованными кусочками, сглаживающими ступеньки. Эту разницу можно уменьшить, если уменьшить основания треугольников ∆x, то есть увеличить n. На рисунке отрезок [x_k, x_k₊₁] разбит еще на три части, и наглядно видно, как уменьшилась разница площадей.

В пределе при n →  получим точное значение площади, то есть

Эта формула подводит к определению определенного интеграла:

Границы а и b называются пределами интегрирования. Сумма, стоящая под знаком предела, называется интегральной суммой. При этом не требуется, чтобы функция f(x) была неотрицательной, она может быть даже разрывной. Необходимо лишь, чтобы предел в правой части равенства существовал.

Определенный интеграл вычисляется с помощью формулы Ньютона – Лейбница, связывающей определенный и неопределенный интеграл:

где F(x) – любая первообразная функции f(x). При этом для краткости эту формулу записывают в виде .

Пример 1.3.7. = = = 22.

При вычислении определенных интегралов используют те же приемы, что при вычислении неопределенных интегралов. Но в их применении есть свои особенности. Если применяется замена переменной, то нет необходимости возвращаться к старой переменной. Вместо этого пересчитывают пределы интегрирования для новой переменной.

Пример 1.3.8. =/ /= =

= = е – 1.

Пример 1.3.9. = = = = .

Свойства I – III неопределенного интеграла выполняются и для определенного интеграла. Имеют место и дополнительные свойства:

IV. ;

V. .

Из построения определенного интеграла, описанного в начале пункта, ясен его геометрический смысл: это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Но это действительно так, только если функция неотрицательна на промежутке интегрирования. В общем случае это ориентированная площадь: если функция отрицательна на промежутке интегрирования, то получим площадь со знаком «минус». Если же функция меняет знак на промежутке интегрирования, то чтобы свести интеграл к площади, надо отдельно считать интеграл на промежутках, где функция неотрицательна, и на промежутках, где функция неположительна.

С помощью определенного интеграла можно считать площади плоских фигур. Если фигура ограничена справа и слева прямыми x = a, x = b, а сверху и снизу графиками y = f(x) и y = g(x) соответственно, то ее площадь вычисляется по формуле

Пример 1.3.10. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x² и y = x + 2.

Р ешение. Найдем сначала точки пересечения графиков, решив уравнение x² = x + 2. Его корни –1 и 2, они являются пределами интегрирования. Изобразим графики функций, чтобы выяснить, какой из них образует верхнюю границу фигуры и какой нижнюю. Вычисляем искомую площадь: