§ 4. Использование апостериорных вероятностей

4.1. Апостериорное распределение вероятностей

Выше было показано, что проведение эксперимента улучшает решение статистика, но при этом увеличивается количество его возможных чистых стратегий с величины до величины . Это серьезно усложняет анализ и решение соответствующей статистической игры. Уменьшения числа чистых стратегий статистика можно добиться применением апостериорных вероятностей состояний природы, вычисляемых по результатам проведенного эксперимента.

Пусть априорное распределение вероятностей состояний природы имеет вид: , и проведен эксперимент с возможными исходами , . При этом каждый результат эксперимента является случайным, но правильно поставленный эксперимент снижает уровень неопределенности относительно состояний природы.

Это уменьшение неопределенности заключается в том, что вместо априорного распределения вероятностей , применяется новое (условное) распределение вероятностей , называемое апостериорным распределением вероятностей на пространстве состояний природы , при данном конкретном исходе эксперимента .

Это условное распределение вероятностей вычисляется по формулам Байеса:

, (3.21)

где

. (3.22)

Или

,

где

-

безусловная вероятность исхода эксперимента , вычисленная по формуле полной вероятности.

№ 3.11. Определить апостериорное распределение вероятностей в задаче о технологической линии.

Решение. Представим решение в виде расчетной таблицы:

	0,6	0,6	0,25	0,15	0,36	0,15	0,09	0,818	0,556	0,310
	0,4	0,2	0,3	0,5	0,08	0,12	0,20	0,182	0,444	0,690
					0,44	0,27	0,29

4.2. Принцип максимального правдоподобия

Согласно принципу максимального правдоподобия, за оценку состояния природы принимают то состояние, которое представляется наиболее вероятным по результатам эксперимента. Например, для № 3.11 получаем, что при исходе эксперимента наиболее вероятным будет состояние природы , так как . Поэтому можно считать, что состоянием природы при будет , и принимать решение о выборе стратегии при этом предположении.

То есть в задаче о технологической линии принцип максимального правдоподобия рекомендует статистику применение следующих стратегий:

а) - при исходе эксперимента ;

б) - при исходе эксперимента ;

в) - при исходе эксперимента .

Этот принцип часто применяют для выбора решений в, так называемой, двухальтернативной задаче, когда статистику обязательно надо принять решение о выборе одной из двух чистых стратегий или .

Наглядно это можно продемонстрировать на примере, называемой задачей о радиолокационной станции (РЛС). В этой задаче имеет место два состояния природы: - цель есть, - цели нет. Оператор по наблюдениям за экраном (по результатам эксперимента) может принять одно из двух решений: - цель есть, - цели нет. При этом он может допустить ошибки двух видов:

	Правильно	Ошибка 1 рода, «ложная тревога»
	Ошибка 2 рода, «пропуск цели»	Правильно

И для принятия решений в такой задаче часто используют отношение правдоподобия

, (3.23)

и говорят, что имеет место проверка по отношению правдоподобия, если задано число такое, что решение принимается согласно следующему правилу:

а) , если ;

б) , если ;

в) или , если .

Значение выбирают в зависимости от тяжести последствий, к которым может привести неправильно принятое решение. Так в задаче о РЛС должно быть , так как ошибка типа «ложная тревога» может иметь более тяжкие последствия. То есть решение надо принимать только в случае, если есть достаточно большая уверенность в наличии цели, то есть при .