3.2. Пространство выборок

Обозначим пространство исходов эксперимента через , а элементы этого пространства как . Тогда на пространстве можем определить условное распределение вероятностей :

, , , (3.11)

где - условная вероятность того, что исходом эксперимента будет при данном состоянии природы .

Совокупность трех элементов: пространства исходов эксперимента , пространства состояний природы и распределения вероятностей называют пространством выборок:

. (3.12)

Пространство выборок удобно задавать в виде таблицы, содержащей распределение вероятностей на прямом произведении множеств .

№ 3.7. Рассмотрим задачу о технологической линии и предположим, что эксперимент заключается в грубом предварительном анализе содержания примесей. Точный лабораторный анализ проводить нецелесообразно, так как это требует значительных затрат времени, а следовательно, и простоя оборудования.

Результаты эксперимента ( - примесей не обнаружено, - примеси в небольшом количестве, - примесей много) представим в следующей таблице:

	0,60	0,20
	0,25	0,30
	0,15	0,50

Например, 0,25 - это вероятность того, что при действительном состоянии природы (сырье с малым количеством примесей), эксперимент обнаружит их в небольшом количестве.

3.3. Решающая функция

Если в задаче без эксперимента статистик должен принять решение из пространства решений , исходя из априорной информации о состояниях природы, то в задаче с экспериментом, он принимает решение в зависимости от исхода эксперимента .

Чтобы формализовать эту задачу нужно заранее проанализировать все возможные исходы эксперимента, и составить правило , определяющее, какое решение следует принять при каждом из возможных исходов эксперимента . Это правило представляет собой отображение пространства исходов эксперимента на пространство решений :

, (3.13)

или

.

Правило , определяющее решение , которое должен принять статистик при каждом возможном исходе эксперимента , называется решающей функцией, а полный перечень возможных решающих функций называется пространством решающих функций .

№ 3.8. Рассмотрим решающие функции в условиях № 3.7. Это

,

где , и - решения, которые принимает статистик при исходах эксперимента , и соответственно. Например, означает, что при исходе эксперимента принимается решение , при исходе - решение , при исходе - решение .

Видно, что число чистых стратегий статистика значительно увеличилось. В № 8 это число равно , а в общем случае , где - количество возможных решений статистика , а - количество возможных исходов эксперимента .

Понятие решающей функции позволяет более четко сформулировать задачу статистика. Эта задача состоит в том, чтобы из пространства решающих функций , выбрать такую решающую функцию , которая позволит принимать наиболее выгодные решения. Для этого необходимо уметь оценивать различные решающие функции, что можно сделать при помощи, так называемых, функций риска.