- •Глава III
- •§ 1. Основные понятия статистических игр
- •1.2. Пространство стратегий природы
- •1.3. Пространство стратегий статистика. Функция потерь
- •1.4. Примеры статистических игр
- •§ 2. Статистические игры без эксперимента
- •2.1. Представление статистической игры без эксперимента в виде s - игры
- •2.2. Допустимые стратегии в статистических играх
- •2.3. О принципах выбора стратегий в статистических играх
- •2.3.1. Принцип минимакса
- •2.3.2. Байесовский принцип
- •2.4. Геометрическая иллюстрация байесовских стратегий
- •§ 3. Статистические игры с проведением единичного эксперимента
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Пространство выборок
- •3.3. Решающая функция
- •3.4. Функции риска
- •3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом
- •3.6. Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве
- •§ 4. Использование апостериорных вероятностей
- •4.1. Апостериорное распределение вероятностей
- •4.2. Принцип максимального правдоподобия
- •4.3. Байесовские решения
4.3. Байесовские решения
Применение апостериорных вероятностей позволяет находить байесовские решения при каждом конкретном исходе эксперимента . И в отличие от решений, рассмотренных выше, вместо априорных вероятностей применяются апостериорные вероятности .
Найдем байесовские решения в задаче § 3.6. Для этого вычислим апостериорные вероятности при помощи расчетной таблицы:
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
0,5 |
0,6 |
0,4 |
0,30 |
0,20 |
0,667 |
0,364 |
|
0,5 |
0,3 |
0,7 |
0,15 |
0,35 |
0,333 |
0,636 |
|
|
0,45 |
0,55 |
|
То есть получим следующие апостериорные вероятности:
, ,
, .
Пусть результатом эксперимента будет . Построим матрицу потерь:
|
0,667 |
0,333 |
|
20 |
5 |
|
0 |
17 |
и вычислим средние потери:
,
.
Таким образом, при исходе эксперимента байесовской стратегией будет с потерями 5,661.
Если результатом эксперимента будет , то матрица потерь будет иметь вид:
|
0,364 |
0,636 |
|
20 |
5 |
|
0 |
17 |
а средние потери будут равны:
,
.
То есть, при исходе эксперимента байесовской стратегией будет с потерями 10,460.
Таким образом, решения этой задачи имеют следующий вид:
а) байесовское без эксперимента - ;
б) минимаксное без эксперимента - ;
в) байесовское с экспериментом - ;
г) минимаксное с экспериментом - , ;
д) при применении апостериорных вероятностей с исходом эксперимента - ;
е) при применении апостериорных вероятностей с исходом эксперимента - .
Отметим, что аналогично решается статистическая игра и в случае, если потери статистика оцениваются функцией полезности.