- •Глава III
- •§ 1. Основные понятия статистических игр
- •1.2. Пространство стратегий природы
- •1.3. Пространство стратегий статистика. Функция потерь
- •1.4. Примеры статистических игр
- •§ 2. Статистические игры без эксперимента
- •2.1. Представление статистической игры без эксперимента в виде s - игры
- •2.2. Допустимые стратегии в статистических играх
- •2.3. О принципах выбора стратегий в статистических играх
- •2.3.1. Принцип минимакса
- •2.3.2. Байесовский принцип
- •2.4. Геометрическая иллюстрация байесовских стратегий
- •§ 3. Статистические игры с проведением единичного эксперимента
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Пространство выборок
- •3.3. Решающая функция
- •3.4. Функции риска
- •3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом
- •3.6. Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве
- •§ 4. Использование апостериорных вероятностей
- •4.1. Апостериорное распределение вероятностей
- •4.2. Принцип максимального правдоподобия
- •4.3. Байесовские решения
2.3.2. Байесовский принцип
Другим принципом выбора стратегии является байесовский, который учитывает априорное распределение вероятностей состояний природы . Согласно этому принципу, смешанную стратегию статистика оценивают усреднением потерь по всем возможным состояниям природы, то есть по величине:
. (3.9)
Наилучшей стратегией при этом будет та, которая минимизирует величину (9), а именно:
. (3.10)
Эту стратегию и называют байесовской.
№ 3.6. Найти байесовскую стратегию в задаче о технологической линии, представленной в виде - игры.
Решение. Для допустимых стратегий, определяемых отрезком , имеем:
.
Тогда при , что соответствует смешанной стратегии .
Для отрезка получаем:
.
Тогда при , что соответствует той же смешанной стратегии .
Следовательно, байесовской стратегией является чистая стратегия с оптимальным значением потерь 1,8 ед.
Ответ: ; .
2.4. Геометрическая иллюстрация байесовских стратегий
Рассмотрим статистическую - игру для двух состояний природы и , определяемую выпуклой областью :
0
Рис. 3.8
Вычислим средние потери (3.9):
,
где . Геометрически - это так называемая опорная прямая с градиентом , направленным от начала координат в сторону области .
Будем увеличивать от нуля до тех пор, пока эта прямая не станет касательной к границе области в точке , представляющей собой допустимую стратегию. Видно, что эта точка и определяет, при заданных и , оптимальную байесовскую стратегию, так как дальнейшее увеличение по направлению , приведет к недопустимым стратегиям.
Таким образом:
Каждая допустимая стратегия является байесовской для некоторых априорных вероятностей и .
Учитывая, что границей области является многоугольник, то опорная прямая в оптимальном положении обязательно пройдет через одну из вершин многоугольника. То есть, при заданных вероятностях и , всегда существует байесовская стратегия (хотя бы одна), являющейся чистой.
Если состояний природы более двух, то все вышесказанное остается в силе, только геометрическая иллюстрация становится практически невозможной.
Отметим также, что геометрическая иллюстрация байесовских стратегий представляет собой не что иное, как графическое решение задачи линейного программирования.
§ 3. Статистические игры с проведением единичного эксперимента
3.1. Постановка задачи
Особенностью статистической игры является возможность проведения эксперимента с целью расширения и уточнения знаний о состояниях природы. И возможность проведения эксперимента чрезвычайно расширяет класс возможных стратегий статистика.
Прежде всего, статистик должен принять решение о том, проводить или не проводить эксперимент. В случае положительного ответа на этот вопрос, он должен далее решить:
а) каким должен быть этот эксперимент;
б) сколько следует провести испытаний, чтобы считать эксперимент законченным;
в) какие предпринять действия при тех или иных исходах эксперимента.
Предположим, что статистик принял решение о проведении единичного эксперимента, под которым будем понимать такой эксперимент, объем и порядок проведения которого заранее определены.
Так, если надо проверить, является ли данная монета симметричной, можно провести единичный эксперимент, состоящий в бросании монеты раз. При этом пространство исходов этого эксперимента состоит из элементов вида:
.
Например, для определения вероятности выпадения герба при одном бросании монеты, Пирсон провел эксперимент, состоящий из 24000 бросаний монеты. То есть пространство возможных исходов эксперимента состояло из элементов.