2.3. О принципах выбора стратегий в статистических играх
Принципом выбора стратегии называют правило, которое позволяет статистику определить наилучшую смешанную стратегию. В различных ситуациях статистик может воспользоваться различными принципами выбора стратегии. Рассмотрим некоторые из них.
2.3.1. Принцип минимакса
Согласно
этого принципа, статистик выбирает ту
стратегию
,
при которой его средние потери
будут наименьшими при наихудшем для
него состоянии природы, то есть
(3.7)
Следовательно, мы можем достаточно просто найти решение статистической игры без эксперимента сведением этой задачи к задаче линейного программирования.
№ 3.4. Найти минимаксную стратегию в задаче о технологической линии.
Решение. Построим графики функций
потерь
и
для отрезков
и
.
5 3
3 2
1 1
0
1
0 1
Рис. 3.3
.
Рис. 3.4
.
Значения
выделим на рисунке жирными линиями.
Тогда минимум этой величины достигается
на рис.3.3 при
,
и равен 3, а на рис.4 определяется точкой
пересечения прямых как:
,
то
есть достигается при
,
и равен
.
Таким образом, принцип минимакса дает точку на отрезке , соответствующую , и определяет смешанную стратегию
,
при
которой потери статистика будут не
больше
ед. при любой стратегии природы.
Иногда выбирают стратегию исходя из так называемых дополнительных потерь:
.
(3.8)
Величина
определяет те минимальные потери,
которые несет статистик даже при своем
наилучшем решении (для каждого возможного
состояния природы). В этом случае выбор
стратегии может осуществляться по
принципу минимакса дополнительных
потерь.
№ 3.5. Найти минимаксную стратегию в задаче о технологической линии, исходя из дополнительных потерь.
Решение.
Так как при
,
а при
,
то матрица дополнительных потерь примет
вид:
.
Применим принцип минимакса графически. Для этого построим сначала выпуклую оболочку :
3
1
0
1 3
Рис. 3.5
Спроектируем отрезок на оси координат и получим следующие выражения для функции дополнительных потерь:
,
.
Для отрезка получаем аналогично:
,
.
Построим графики дополнительных потерь:
3 3
1 1
0 1 0 1
Рис.3.6 . Рис. 3.7 .
Тогда
на рис. 3.6 минимум от максимума
дополнительных потерь достигается при
,
равен 1, и получаем чистую стратегию
.
Для рис.3.7 получаем
,
и стратегию
.
Следовательно,
оптимальной является чистая стратегия
,
и минимаксные дополнительные потери
равны 1 ед.
Минимаксные принципы исходят из предположения о том, что природа действует наихудшим для статистика образом, и поэтому выражают точку зрения ЛПР, не расположенного к риску. Недостатком этих методов является и то, что они не учитывают априорной информации о состояниях природы, что ограничивает возможный выигрыш статистика. Поэтому минимаксные принципы можно рекомендовать в случае отсутствия априорной информации о состояниях природы, или если есть веские основания сомневаться в достоверности такой информации.
Отметим также, что принцип минимакса дал разные результаты для полных и дополнительных потерь. Это происходит, в частности, потому, что статистик может компенсировать необходимые потери тем или иным образом, например, установлением соответствующих цен на производимую продукцию. Поэтому он может их и не учитывать при выборе оптимальной стратегии.