- •Глава III
- •§ 1. Основные понятия статистических игр
- •1.2. Пространство стратегий природы
- •1.3. Пространство стратегий статистика. Функция потерь
- •1.4. Примеры статистических игр
- •§ 2. Статистические игры без эксперимента
- •2.1. Представление статистической игры без эксперимента в виде s - игры
- •2.2. Допустимые стратегии в статистических играх
- •2.3. О принципах выбора стратегий в статистических играх
- •2.3.1. Принцип минимакса
- •2.3.2. Байесовский принцип
- •2.4. Геометрическая иллюстрация байесовских стратегий
- •§ 3. Статистические игры с проведением единичного эксперимента
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Пространство выборок
- •3.3. Решающая функция
- •3.4. Функции риска
- •3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом
- •3.6. Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве
- •§ 4. Использование апостериорных вероятностей
- •4.1. Апостериорное распределение вероятностей
- •4.2. Принцип максимального правдоподобия
- •4.3. Байесовские решения
3.6. Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве
Рассмотрим задачу о том, на каких участках сажать картофель: на влажных , или на засушливых . Множество состояний природы состоит из двух элементов: - влажное лето (осадков будет выше нормы), - сухое лето (осадков будет ниже нормы). По результатам многолетних наблюдений известна соответствующая прибыль в расчете на 1 га (в у.е.):
|
|
|
|
5 |
25 |
|
20 |
8 |
Так как размерность задачи мала, то решение этой статистической игры можно будет продемонстрировать аналитически.
Определим функцию потерь в виде разности между наибольшей прибылью (25) и прибылью которую можно получить во всех остальных случаях:
20 0
5 17
Определим множество исходов эксперимента как: - наблюдается (весной) большое количество осадков, - малое количество осадков, со следующими условными вероятностями :
|
|
|
|
0,60 |
0,30 |
|
0,40 |
0,70 |
Построим пространство решающих функций :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычислим функции риска, представив для удобства расчетов потери и условные вероятности в одной таблице:
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
20 |
0 |
0,60 |
0,40 |
|
5 |
17 |
0,30 |
0,70 |
Тогда можем получить следующие функции риска:
,
,
,
,
,
,
,
.
Представим полученные значения в виде матрицы (таблицы) рисков:
|
|
|
|
|
|
20 |
12 |
8 |
0 |
|
5 |
13,4 |
8,6 |
17 |
Видно, что стратегия является недопустимой, так как при сравнении ее со стратегией , получаем следующие неравенства: . Поэтому стратегию можно исключить. Это приводит к следующей матрице рисков:
|
|
|
|
|
20 |
8 |
0 |
|
5 |
8,6 |
17 |
Найдем сначала байесовское решение, предполагая, что априорное распределение вероятностей состояний природы имеет вид: .
Тогда средние потери (риски) будут равны:
,
,
,
Видно, что
.
Следовательно, оптимальной байесовской стратегией будет стратегия : если весной много осадков ( ), то принимается решение о том, что картофель надо сажать на засушливых участках; если весной будет мало осадков ( ), то принимается решение о том, что посадки надо осуществить на влажных участках.
Найдем теперь минимаксное решение . Согласно принципу минимакса необходимо выполнение следующих условий:
где - цена игры. Разделив на все неравенства, получаем задачу линейного программирования.
Найти
,
при ограничениях:
Решив эту задачу, получаем:
,
то есть
,
и
.
Таким образом, минимаксная стратегия заключается в выборе стратегии с вероятностью 0,0385, и стратегии с вероятностью 0,9615. Это означает, что если весной наблюдается большое число осадков , то с вероятностью 0,0385 принимается решение , а с вероятностью 0,9615 - решение . Если же весной наблюдается малое число осадков , то принимается решение . Кроме того, видно, что минимаксная стратегия более осторожна, чем байесовская, так как .
Если решать эту задачу без проведения эксперимента, то легко можно получить:
а) байесовское решение: ;
б) минимаксное решение: .
Видно, что проведение эксперимента действительно позволило улучшить результаты статистика, особенно минимаксное решение.