- •Глава III
- •§ 1. Основные понятия статистических игр
- •1.2. Пространство стратегий природы
- •1.3. Пространство стратегий статистика. Функция потерь
- •1.4. Примеры статистических игр
- •§ 2. Статистические игры без эксперимента
- •2.1. Представление статистической игры без эксперимента в виде s - игры
- •2.2. Допустимые стратегии в статистических играх
- •2.3. О принципах выбора стратегий в статистических играх
- •2.3.1. Принцип минимакса
- •2.3.2. Байесовский принцип
- •2.4. Геометрическая иллюстрация байесовских стратегий
- •§ 3. Статистические игры с проведением единичного эксперимента
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Пространство выборок
- •3.3. Решающая функция
- •3.4. Функции риска
- •3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом
- •3.6. Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве
- •§ 4. Использование апостериорных вероятностей
- •4.1. Апостериорное распределение вероятностей
- •4.2. Принцип максимального правдоподобия
- •4.3. Байесовские решения
§ 2. Статистические игры без эксперимента
2.1. Представление статистической игры без эксперимента в виде s - игры
Свяжем с каждой из чистых стратегий статистика точку в - мерном пространстве, координатами которой будут потери статистика при различных стратегиях природы . Например, для задачи о технологической линии этими точками будут точки , и . И выпуклая оболочка множества точек , и дает область всех возможных стратегий статистика: как чистых - , и , так и смешанных - отрезков вида , и :
5
3
2
0 1 3
Р ис. 3.1
При выборе своей стратегии игрок может руководствоваться различными принципами оптимальности. При этом среди статистиков не существует единого мнения о том, какой из принципов необходимо применять в каждом конкретном случае. Однако можно прийти к единому мнению о том, чего не надо делать. Для этого вводится понятие допустимых стратегий, аналогично понятию доминирующих стратегий в стратегических играх.
2.2. Допустимые стратегии в статистических играх
Рассмотрим некоторую смешанную стратегию . Тогда возможны два случая:
Нельзя найти стратегию лучшую, чем . Это означает, что не существует такой стратегии , для которой справедливо неравенство:
, (3.6)
при всех , , хотя для некоторых это неравенство может и выполняться. В этом случае стратегия называется допустимой..
Существует стратегия лучше, чем . Это означает, что неравенство (6) выполняется при всех . В этом случае стратегия называется недопустимой и ее следует исключить из рассмотрения в пользу стратегии .
Допустимые стратегии удобно рассмотреть в терминах - игры, при которой стратегии статистика определяются в виде точек, лежащих на выпуклой оболочке области , а потери статистика определяются координатами соответствующих точек выпуклой оболочки.
Продемонстрируем метод нахождения допустимых стратегий для случая, когда множество состояний природы состоит только из двух элементов и :
0
Рис. 3.2
Рассмотрим стратегию (точку), расположенную внутри области . Эта стратегия не является допустимой, так как координаты (потери) всех точек, лежащих на отрезке , имеют меньшие значения, то есть представляют явно лучшие решения. Поэтому все «внутренние» стратегии вида можно исключить в пользу стратегии вида , лежащей на границе области .
Следовательно, можно сделать вывод о том, что все множество допустимых стратегий статистика представляет (геометрически) дугу границы области .
№ 3.3. Найти функции потерь для допустимых решений в задаче о технологической линии.
Решение. Левая нижняя граница допустимых решений (см. рис.3.1) состоит из отрезков и , каждый из которых представляет собой смешанную стратегию.
Введем параметр . Тогда параметрическое уравнение отрезка будет иметь вид:
,
и это определяет смешанную стратегию:
.
Спроектировав отрезок на оси координат, получим следующие выражения для функции потерь:
,
.
Аналогично для отрезка с уравнением:
,
получим смешанную стратегию
,
и функции потерь
,
.