- •Глава III
- •§ 1. Основные понятия статистических игр
- •1.2. Пространство стратегий природы
- •1.3. Пространство стратегий статистика. Функция потерь
- •1.4. Примеры статистических игр
- •§ 2. Статистические игры без эксперимента
- •2.1. Представление статистической игры без эксперимента в виде s - игры
- •2.2. Допустимые стратегии в статистических играх
- •2.3. О принципах выбора стратегий в статистических играх
- •2.3.1. Принцип минимакса
- •2.3.2. Байесовский принцип
- •2.4. Геометрическая иллюстрация байесовских стратегий
- •§ 3. Статистические игры с проведением единичного эксперимента
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Пространство выборок
- •3.3. Решающая функция
- •3.4. Функции риска
- •3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом
- •3.6. Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве
- •§ 4. Использование апостериорных вероятностей
- •4.1. Апостериорное распределение вероятностей
- •4.2. Принцип максимального правдоподобия
- •4.3. Байесовские решения
3.4. Функции риска
Если статистик остановил свой выбор на некоторой решающей функции , то он, тем самым, определил для каждого исхода эксперимента , , соответствующее решение , которому при данном состоянии природы будут соответствовать потери:
. (3.14)
Но при заданном , исход эксперимента будет случайной величиной с вероятностями:
,
на пространстве . Поэтому и потери будут случайными величинами с вероятностями .
Следовательно, необходимо вести речь о средних потерях, определенных на всем пространстве возможных исходов эксперимента . Эти средние потери называются функцией риска:
. (3.15)
Функция риска определяется для каждого состояния природы и для каждой решающей функции . То есть определяется на прямом произведении множеств точно так же, как функция потерь , в игре без эксперимента, определялась на прямом произведении множеств . Следовательно, пространство решающих функций и функция риска , в игре с единичным экспериментом, играют ту же роль, что и пространство возможных стратегий статистика и функция потерь в игре без эксперимента. Это означает, что игру с единичным экспериментом можно решить теми же самыми методами, что и игру без эксперимента. Плохо только то, что количество чистых стратегий статистика неимоверно возрастает.
В игре с экспериментом статистик может применять и смешанные стратегии. Для этого он должен иметь механизм случайного выбора, задающий распределение вероятностей в пространстве .
Тогда функция риска, при применении смешанных стратегий, будет вычисляться как математическое ожидание (среднее):
, (3.16)
или с учетом (3.15):
. (3.17)
Естественно, что при поиске наилучшей стратегии в игре с экспериментом статистик должен исходить только из допустимых стратегий, которые определяются аналогично игре без эксперимента.
№ 3.9. Вычислить функции риска в задаче о технологической линии.
Решение. Для удобства расчетов потери статистика и вероятности сведем в одну таблицу:
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
0,60 |
0,25 |
0,15 |
|
5 |
3 |
2 |
0,20 |
0,30 |
0,50 |
Вычислим, например, . Согласно формуле (3.15), получаем:
.
Тогда
,
.
И так далее, можно вычислить все значения функции риска.
3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом
Так как введение функции риска сводит игру с единичным экспериментом к форме, аналогичной игре без эксперимента, то остаются справедливыми все принципы выбора стратегии статистика. Отличие состоит только в том, что вместо минимизации средних потерь, статистик должен теперь минимизировать средний риск.
Например, согласно принципу минимакса выбирается стратегия , при которой средний риск будет минимальным при наихудшем для статистика состоянии природы:
. (3.18)
И игра решается сведением к задаче линейного программирования.
Отметим также, что при определении среднего риска можно исходить и из дополнительных потерь .
Для применения байесовского принципа введем понятие ожидаемого риска, под которым будем понимать средний риск с учетом всех возможных состояний природы и априорного распределения вероятностей . А именно:
. (3.19)
И оптимальной будет такая решающая функция , при которой ожидаемый риск будет минимальным:
. (3.20)
При этом риск называется байесовским.
№ 3.10. Определить минимаксную и байесовскую стратегии в задаче о технологической линии с проведением единичного эксперимента.
Решение. Сведение задачи к - игре позволяет получить следующие решения:
Минимаксная стратегия -
.
Байесовская стратегия: , при которой
.