4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Функции двух переменных. Основные определения (функция двух переменных, область определения, область значения, понятия предела и непрерывности функции, график функции, понятие линии уровня). Частные производные функции двух переменных. Производная по направлению. Градиент.

Основные понятия: область определения функции нескольких переменных, линии уровня; частные производные; градиент функции.

Требования к уровню подготовленности при изучении раздела.

Знать: понятие функции нескольких переменных; определения предела, непрерывности, дифференцируемости функции нескольких переменных; график функции двух переменных; понятия частных производных, дифференциала, производных по направлению, градиента, линии уровня; метод наименьших квадратов.

Уметь: привести примеры функции нескольких переменных, применяемых в биологии; находить частные производные функции нескольких переменных;

строить градиент и линии уровня функции двух переменных.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [10], [12], [14].

Задания для самопроверки:

I уровень: [2] – c. 181, № 40-42, №53; с.185, № 1-5; с. 191, №51.

II уровень: [2] – c. 181, № 45-49, №56, №58; с. 185-186, № 7-12; с. 190, №50.

5. Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла, таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования (табличное интегрирование, замена переменной, по частям). Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Особые свойства определенного интеграла. Интегралы с бесконечными пределами, их сходимость. Приложения определенного интеграла в геометрии, физике и в естествознании.

Основные понятия: первообразная функция и неопределенный интеграл, криволинейная трапеция; определенный интеграл; несобственный интеграл.

Требования к уровню подготовленности при изучении раздела.

Знать: определения основных понятий; свойства определенных и неопределенных интегралов; интегралы от основных элементарных функций; необходимое условие интегрируемости функции; формулу Ньютона-Лейбница; геометрический, физический и биологический смысл определенного интеграла;

Уметь: применять основные методы интегрирования для вычисления неопределенных (определенных) интегралов и исследования сходимости несобственных интегралов; вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения применять определенный интеграл для решения геометрических, физических, биологических задач.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [10], [12].

Задания для самопроверки:

I уровень: [2] – c. 86, № 1-14; с.90, № 36-45; с. 93, №102-103; с.104, № 255-265.

II уровень: [2] – c. 86, № 15-30; с. 91, № 78-85; с. 93, №110-112; с. 108, № 290-295.

6. Дифференциальные уравнения (ду).

Простейшие виды дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Задача Коши. Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

Требования к уровню подготовленности при изучении раздела.

Знать: Определение ДУ и его решения; определение задачи Коши; методы решений основных типов ДУ первого порядка; определение ДУ второго порядка; характеристическое уравнение и вид общего решения однородного линейного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уметь: приводить примеры ДУ, используемых в простейших биологических моделях; находить общее решение (или общий интеграл) для простейших ДУ первого порядка с разделяющимися переменными, решать задачу Коши; понижать порядок ДУ с помощью замены искомой функции; составлять и решать характеристические уравнения, находить общее и частное решения для линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами.

Рекомендуемая литература: [2], [6], [7], [10], [13].

Задания для самопроверки:

I уровень: [2] – c. 226, № 20-23, с.232, № 84-86;

II уровень: [2] – c. 226, № 30-35, с. 232, № 87-89.