Раздел 5. Образцы решения типовых задач Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

1. Вычислить указанные пределы:

Решение. 1) Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень , получим:

=

2) Старшая степень в этом примере , поэтому числитель и знаменатель разделим на x:

4) Найдём корни трёхчленов:

5) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженные им выражения

6)

2. Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

5) , y= .

6) y=cos²(x²), y= .

7) , y= .

8) , y= .

Интегральное исчисление.

В математическом анализе разработан ряд методов для вычисления неопределённых интегралов: непосредственное (табличное) интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

I. Метод непосредственного (табличного) интегрирования.

Использование данного метода основано на применении свойств и таблицы простейших интегралов (Приложение 2). При вычислении интегралов в этом случае нужно подынтегральную функцию представить в виде суммы.

II. Интегрирование подстановкой.

Этот метод основан на замене переменной интегрирования с целью сведения данного интеграла к такому виду, что его можно вычислить непосредственным интегрированием. Справедлива следующая формула:

, где непрерывная на интервале (а; в) функция, а - непрерывно дифференцируема на интервале , причём функция отображает интервал в интервал (а; в).

Теория вероятностей.

Основные задачи, связанные с нормальным распределением

1. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал вычисляется по формуле:

, где – функция Лапласа.

Задача. Средняя масса плода яблони сорта Мелба равна 160г, отклонение массы плодов от средней величины составляет 40г. Найти:

а) вероятность того, что масса наугад взятого яблока этого сорта будет находиться в пределах от 190г до 220г;

б) процент яблок не превосходящих по массе 140г;

в) величину, которую не превзойдет масса яблок с вероятностью 0,78.

Решение.

а) по условию г, 220г, а=160г, =40г.

.

б) вычислим вероятность того, что масса яблок не превзойдет 140г. По условию =0, =140.

Следовательно, 31% яблок не превзойдет по массе 140г.

в) по условию .

т.к. , то . В таблице по значению функции , определили, что значение выражения =0,77, .

Следовательно, можно утверждать, что масса яблок не превзойдет 190,8г с вероятностью 0,78.

2. Вычисление вероятности отклонения абсолютного значения случайной величины от наперед заданного числа.

Напомним, что разность х-а называется отклонением случайной величины от математического ожидания. Зададим положительное число . Неравенство равносильно двойному неравенству .

Вероятность того, что отклонение абсолютного значения нормально распределенной случайной величины меньше положительного наперед заданного числа , вычисляется по формуле:

.

Замечание. Очевидно, что события, описываемые неравенствами и – противоположные, следовательно, если вероятность появления события, описываемого неравенством равна р, то вероятность события, описываемого неравенством , равна 1-р.

Задача. Подшипники, изготавливаемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение посадочного диаметра подшипника от проектного размера не превышает 0,2мм. Случайное отклонение посадочного диаметра подчинено нормальному закону с математическим ожиданием а =0 и средним квадратичным отклонением =0,08мм. Сколько процентов стандартных подшипников изготавливает автомат?

Решение.

Итак, 98,76% стандартных подшипников изготавливает автомат.