1.3.4 Сезонная и несезонная модели с трендом или без тренда

В дополнение к простому экспоненциальному сглаживанию были предложены более сложные модели, включающие сезонную компоненту и трендом. Общая идея таких моделей состоит в том, что прогнозы вычисляются не только по предыдущим наблюдениям (как в простом экспоненциальном сглаживании), но и с некоторыми задержками, что позволяет независимо оценить тренд и сезонную составляющую. Gardner (1985) обсудил различные модели в терминах сезонности (отсутствует, аддитивная сезонность, мультипликативная) и тренда (отсутствует, линейный тренд, экспоненциальный, демпфированный).

Аддитивная и мультипликативная сезонность. Многие временные ряды имеют сезонные компоненты. Например, продажи игрушек имеют пики в ноябре, декабре и, возможно, летом, когда дети находятся на отдыхе. Эта периодичность имеет место каждый год. Однако относительный размер продаж может слегка изменяться из года в год. Таким образом, имеет смысл независимо экспоненциально сгладить сезонную компоненту с дополнительным параметром, обычно обозначаемым как б (дельта). Сезонные компоненты, по природе своей, могут быть аддитивными или мультипликативными. Например, в течение декабря продажи определенного вида игрушек увеличиваются на 1 миллион долларов каждый год. Для того чтобы учесть сезонное колебание, вы можете добавить в прогноз на каждый декабрь 1 миллион долларов (сверх соответствующего годового среднего). В этом случае сезонность - аддитивная. Альтернативно, пусть в декабре продажи увеличились на 40%, т.е. в 1.4 раза. Тогда, если общие продажи малы, то абсолютное (в долларах) увеличение продаж в декабре тоже относительно мало (процент роста константа). Если в целом продажи большие, то абсолютное (в долларах) увеличение продаж будет пропорционально больше. Снова, в этом случае продажи увеличатся в определенное число раз, и сезонность будет мультипликативной (в данном случае мультипликативная сезонная составляющая была бы равна 1.4). На графике различие между двумя видами сезонности состоит в том, что в аддитивной модели сезонные флуктуации не зависят от значений ряда, тогда как в мультипликативной модели величина сезонных флуктуаций зависит от значений временного ряда.

Параметр сезонного сглаживания. В общем, прогноз на один шаг вперед вычисляется следующим образом (для моделей без тренда; для моделей с линейным и экспоненциальным трендом, тренд добавляется):

Аддитивная модель: Прогноз_t = S_t + I_t-p

Мультипликативная модель: Прогноз_t = S_t* I_t-p

В этой формуле S_t обозначает (простое) экспоненциально сглаженное значение ряда в момент t, и I_t-p обозначает сглаженный сезонный фактор в момент t минус p (p - длина сезона). Таким образом, в сравнении с простым экспоненциальным сглаживанием, прогноз "улучшается" добавлением или умножением сезонной компоненты.

1.4 Сезонная декомпозиция

Общая модель. Основная идея сезонной декомпозиции проста. В общем случае временной ряд можно представить себе состоящим из четырех различных компонент: (1) сезонной компоненты (обозначается S_t, где t обозначает момент времени), (2) тренда (T_t), (3) циклической компоненты (C_t) и (4) случайной, нерегулярной компоненты или флуктуации (I_t). Разница между циклической и сезонной компонентой состоит в том, что последняя имеет регулярную (сезонную) периодичность, тогда как циклические факторы обычно имеют более длительный эффект, который к тому же меняется от цикла к циклу. В методе сезонной декомпозиции тренд и циклическую компоненту обычно объединяют в одну тренд-циклическую компоненту (TC_t). Конкретные функциональные взаимосвязи между этими компонентами могут иметь самый разный вид. Однако, можно выделить два основных способа, с помощью которых они могут взаимодействовать: аддитивно и мультипликативно:

Аддитивная модель: X_t = T_t + C_t + S_t + I_t

Мультипликативная модель: X_t = T_t*C_t*S_t*I_t

Здесь X_t обозначает значение временного ряда в момент времени t. Если имеются какие-то априорные сведения о циклических факторах, влияющих на ряд (например, циклы деловой конъюнктуры), то можно использовать оценки для различных компонент для составления прогноза будущих значений ряда. (Однако для прогнозирования предпочтительнее экспоненциальное сглаживание, позволяющее учитывать сезонную составляющую и тренд.)

Аддитивный и мультипликативный тренд-цикл. Как и сезонная компонента, тренд может быть по своей природе аддитивным (продажи ежегодно увеличиваются на 3 миллиона долларов) или мультипликативным (продажи ежегодно увеличиваются на 30%, или возрастают в 1.3 раза). Кроме того, объем продаж может содержать циклические компоненты. Циклическая компонента отличается от сезонной тем, что она обычно имеет большую временную протяженность и проявляется через неравные промежутки времени. Как и в предыдущих случаях, такая циклическая компонента может изменять объем продаж аддитивно, либо мультипликативно.

Скользящее среднее. Сначала вычисляется скользящее среднее для временного ряда, при этом ширина окна берется равной периоду сезонности. Если период сезонности - четное число, пользователь может выбрать одну из двух возможностей: брать скользящее среднее с одинаковыми весами или же с неравными весами так, что первое и последнее наблюдения в окне имеют усредненные веса.

Отношения или разности. После взятия скользящих средних вся сезонная (т.е. внутри сезона) изменчивость будет исключена, и поэтому разность (в случае аддитивной модели) или отношение (для мультипликативной модели) между наблюдаемым и сглаженным рядом будет выделять сезонную составляющую (плюс нерегулярную компоненту). Более точно, ряд скользящих средних вычитается из наблюдаемого ряда (в аддитивной модели) или же значения наблюдаемого ряда делятся на значения скользящих средних (в мультипликативной модели).

Сезонная составляющая. На следующем шаге вычисляется сезонная составляющая, как среднее (для аддитивных моделей) или урезанное среднее (для мультипликативных моделей) всех значений ряда, соответствующих данной точке сезонного интервала.

Сезонная корректировка ряда. Исходный ряд можно скорректировать, вычитая из него (аддитивная модель) или деля его значения на (мультипликативная модель) значения сезонной составляющей. Получающийся в результате ряд называется сезонной корректировкой ряда (из ряда убрана сезонная составляющая).

Тренд-циклическая компонента. Напомним, что циклическая компонента отличается от сезонной компоненты тем, что продолжительность цикла, как правило, больше, чем один сезонный период, и разные циклы могут иметь разную продолжительность. Приближение для объединенной тренд-циклической компоненты можно получить, применяя к ряду с сезонной поправкой процедуру 5-точечного (центрированного) взвешенного скользящего среднего с весами 1, 2, 3, 2, 1.

Случайная или нерегулярная компонента. На последнем шаге выделяется случайная или нерегулярная компонента (погрешность) путем вычитания из ряда с сезонной поправкой (аддитивная модель) или делением этого ряда (мультипликативная модель) на тренд-циклическую компоненту.