1.6 Одномерный анализ Фурье

В спектральном анализе исследуются периодические модели данных. Цель анализа - разложить комплексные временные ряды с циклическими компонентами на несколько основных синусоидальных функций с определенной длиной волн. Термин "спектральный" - своеобразная метафора для описания природы этого анализа. Предположим, вы изучаете луч белого солнечного света, который, на первый взгляд, кажется хаотически составленным из света с различными длинами волн. Однако, пропуская его через призму, вы можете отделить волны разной длины или периодов, которые составляют белый свет. Фактически, применяя этот метод, вы можете теперь распознавать и различать разные источники света. Таким образом, распознавая существенные основные периодические компоненты, вы узнали что-то об интересующем вас явлении. В сущности, применение спектрального анализа к временным рядам подобно пропусканию света через призму. В результате успешного анализа можно обнаружить всего несколько повторяющихся циклов различной длины в интересующих вас временных рядах, которые, на первый взгляд, выглядят как случайный шум. Наиболее известный пример применения спектрального анализа - циклическая природа солнечных пятен.

Оказывается, что активность солнечных пятен имеет 11-ти летний цикл. Другие примеры небесных явлений, изменения погоды, колебания в товарных ценах, экономическая активность и т.д. также часто используются в литературе для демонстрации этого метода. В отличие от ARIMA или метода экспоненциального сглаживания, цель спектрального анализа - распознать сезонные колебания различной длины, в то время как в предшествующих типах анализа, длина сезонных компонент обычно известна (или предполагается) заранее и затем включается в некоторые теоретические модели скользящего среднего или автокорреляции.      

1.7 Подготовка данных к анализу

Перед анализом необходимо добиться стационарности временного ряда. Часто для этого достаточно вычесть среднее из значений ряда и удалить тренд. По существу, среднее - это цикл частоты 0 (нуль) в единицу времени; т.е. константа. Аналогично, тренд также не представляет интереса, когда нужно выделить периодичность в ряде. Фактически оба этих эффекта могут заслонить более интересные периодичности в данных, поэтому и среднее, и (линейный) тренд следует удалить из ряда перед анализом. Иногда также полезно сгладить данные перед анализом, чтобы убрать случайный шум, который может засорять существенные периодические циклы в периодограмме.

Возможен случай, если повторяющихся циклов в данных нет, т.е. если каждое наблюдение совершенно независимо от всех других наблюдений? Если распределение наблюдений соответствует нормальному, такой временной ряд может быть белым шумом (подобный белый шум можно услышать, настраивая радио). Если исходный ряд - белый шум, то прогнозом является средний уровень ряда.

Глава 2. Прогнозирование объемов покупки и продажи евро

Целью данной работы является прогнозирование объемов покупки и продажи евро. Продажа осуществляется свободно в центрах обмена валюты банка.

Объемы продажи и покупки валюты рассматриваются в абсолютной величине, а не в рублевом эквиваленте, по следующим причинам. При прогнозировании в рублевом эквиваленте в значения уровней ряда автоматически включается курс валюты, который меняется каждый день. Также на рублевые суммы влияет величина инфляции. Это может исказить прогноз. Объём продажи и покупки в абсолютном выражении освобожден от прямого влияния курса валюты и инфляции. Поэтому для выявления тенденций предпочтительнее использовать абсолютные показатели объема валюты.

В работе рассматриваются два временных ряда: ряд объема покупки и ряд объема продажи евро. Каждый ряд представляет собой упорядоченный набор месячных значений с января 2003 г. по ноябрь 2006 г. и содержит сорок семь наблюдений. Для целей прогнозирования наблюдения разбиты на рабочую выборку из тридцати шести и контрольную выборку из одиннадцати наблюдений. Прогнозы построены на период с декабря 2006 г. по декабрь 2007 г.

Для расчетов использовались пакеты Microsoft Excel и EViews.

Для прогнозирования использовались следующие модели:

1. конечно-разностное дифференцирование;

2. метод экспоненциального сглаживания (двухпараметрическая модель Хольта);

3. аддитивная модель сезонных явлений с линейным ростом (модель Тейла, Вейджа);

4. мультипликативная модель сезонных явлений с линейным ростом (модель Хольта-Уинтерса);

5. ARIMA-модели.