2. Основні теоретичні відомості
2.1. Форми рівноваги пружного стиснутого стрижня
При стиску довгих тонких стрижнів осьовою силою вони можуть вийти з ладу не через те, що в поперечних перерізах виникатимуть граничні напруження (границя текучості або міцності), а внаслідок того, що стрижень втрачає свою вихідну прямолінійну форму (випучується). Для таких стрижнів, окрім розрахунку на міцність, потрібно виконувати розрахунок на стійкість.
За дії на стержень стискальної сили можна спостерігати три форми його рівноваги:
а) стійка рівновага – це така форма рівноваги стрижня, коли при довільному малому відхиленні його від прямолінійної початкової форми рівноваги внутрішні сили здатні повернути його у вихідне положення;
б) нестійка форма рівноваги – така форма, коли, після малого відхилення стрижня з початкового прямолінійного положення, він не тільки не повертається у вихідне положення, а отримує додаткові переміщення;
в) байдужа форма рівноваги – така форма рівноваги, коли, після малого відхилення стрижня з початкового положення рівноваги, він залишається в цьому новому положенні рівноваги.
Найбільша
стискальна сила
,
до якої стрижень зберігає стійку форму
рівноваги, називається критичною
силою
.
Іншими словами, критична
сила
- це найменша осьова стискальна сила,
за якої вихідна прямолінійна форма
рівноваги стає нестійкою. Навіть тоді,
коли стискальні напруження від сили
набагато менші від границі текучості
чи границі міцності
матеріалу стрижня, він може виходити з
ладу через втрату
стійкості.
Згин прямого стрижня під дією стискальної
сили, після втрати стійкості, називають
повздовжнім згином.
Для забезпечення стійкості стрижнів, що зазнають стиску необхідно задовольняти умову
,
(1)
де
F
– діюче
навантаження,
- коефіцієнт запасу стійкості.
2 .2. Визначення критичної сили. Критичне напруження
Нехай на стрижень з шарнірно
закріпленими краями діє стискальна
сила
.
Під дією цієї сили стрижень згинається
(рис. 1). Згин буде відбуватися в площині
найменшої жорсткості, яка суміщена з
площиною
.
Використавши для визначення прогину
наближене диференціальне рівняння
зігнутої осі і задовольнивши граничні
умови, одержують формулу Ейлера для
критичної сили в
стрижні з шарнірно закріпленими краями:
(2)
де
- мінімальний момент інерції поперечного
перерізу стрижня.
За
будь-якого способу закріплення стрижня
критична сила
визначається за формулою
(3)
де
- коефіцієнт зведеної довжини, що залежить
від способу закріплення стрижня. На
рис.
2
наведені значення коефіцієнтів
для деяких способів закріплення стрижнів.
Якщо
стиснутий стрижень по-різному закріплений
у різних площинах (рис. 3),
коефіцієнти зведеної довжини
відносно осей
і
є різними.
В
цьому випадку критичну силу
визначають за формулою:
(4)
де
- площа поперечного перерізу стрижня;
-
гнучкість стрижня; (5)
-
радіус інерції поперечного перерізу.
(6)
При цьому згин стрижня відбуватиметься в площині найбільшої гнучкості.
;
де
- радіуси інерції перерізу відносно
його головних осей
.
Для таких стрижнів актуальним є питання
раціонального
розташування
перерізу, за якого виконується умова
.
З урахуванням виразу (.5) ця умова набуває
вигляду
(7)
Критичне напруження в стиснутих гнучких стрижнях визначається за формулою
(8)