- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни
- •Загальні вказівки щодо виконання курсової роботи
- •Задача 1. Розрахунок плоскої статично невизначної шарнірно-стрижневої системи
- •Умова задачі
- •Числові значення геометричних параметрів і складових навантаження
- •Основні теоретичні відомості
- •Приклад розв’язання задачі
- •Умова задачі
- •Числові значення геометричних параметрів і складових навантаження
- •Числові значення геометричних параметрів і складових навантаження
- •2. Основні теоретичні відомості
- •3. Приклад розв’язання задачі
- •Умова задачі
- •Числові значення геометричних параметрів і складових навантажень балки
- •2. Основні теоретичні відомості
- •Основні поняття. Поперечні сили та згинальні моменти
- •Розрахунок балок на міцність
- •3. Приклад розв'язання задачі
- •Задача 4. Підбір поперечних перерізів центрально стиснутих стержнів
- •Умова задачі
- •2. Основні теоретичні відомості
- •2.1. Форми рівноваги пружного стиснутого стрижня
- •2 .2. Визначення критичної сили. Критичне напруження
- •3. Діаграма критичних напружень
- •4. Проектний розрахунок стиснутих стрижнів на стійкість
- •070106 “Автомобільний транспорт”
2. Основні теоретичні відомості
Крученням називається такий вид деформування, при якому в поперечних перерізах стержня виникає лише одне внутрішнє зусилля – крутний момент Т. Кручення прямого стержня відбувається внаслідок його навантаження зовнішніми парами сил, площини дії яких розташовані перпендикулярно до осі стержня. Крутний момент Т будемо вважати додатним, якщо його дія направлена проти ходу годинникової стрілки, коли її спостерігати вздовж зовнішньої нормалі n до перерізу.
Для визначення крутного моменту Т застосовують метод перерізів. Для цього уявно роз-різають стержень січною площиною, перпендикулярною до його осі, на дві частини (рис. 2, а); одну з цих частин відкидають, її дію на залишену частину заміняють крутним моментом Т (рис. 2, б, в). З рівняння рівноваги
,
складеного для однієї з частин стержня, випливає правило для визначення крутного моменту: крутний момент у довільному перерізі стержня є чисельно рівним алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил, розміщених з одного боку від розглядуваного перерізу, відносно осі стержня.
В поперечних перерізах стержня в процесі кручення виникають дотичні напруження τ. У випадку стержня круглого або кільцевого перерізу ці напруження визначаються за формулою:
, (1)
де ρ – відстань від точки, в якій визначається напруження τ, до осі стержня; Ip – полярний момент інерції стержня.
Рис. 2. Прямий стержень (а), навантажений на кінцях взаємно зрівноваженими парами сил, і частини стержня (б, в), що перебувають під дією зовнішніх і внутрішніх сил
Формула для визначення полярного моменту інерції круглого перерізу має вигляд
, (2)
де d – діаметр перерізу.
Для кільцевого перерізу
, (3)
де d1 і d2 – зовнішній і внутрішній діаметри кільця; α= d2/d1.
Максимальні дотичні напруження τmax, згідно з (1), визначаються за формулою
, (4)
де Wp – полярний момент опору поперечного перерізу стержня,
, (5)
причому ρmax – найбільше значення відстані ρ.
З урахуванням (2) і (5) одержуємо вираз моменту опору круглого перерізу
, (6)
а з урахуванням (3) і (5) – вираз моменту опору перерізу у вигляді кільця
. (7)
Беручи до уваги залежність (4), подаємо умову міцності стержня, що працює в умовах кручення, у вигляді
, (8)
де [τ] – допустиме дотичне напруження для матеріалу стержня.
Діаметр круглого перерізу стержня за умовою міцності (8) визначається з урахуванням залежності (6) за формулою
. (9)
Аналогічно із співвідношень (7) та (8) одержуємо формулу для знаходження зовнішнього діаметра d1 стержня кільцевого поперечного перерізу за умовою міцності
. (10)
Відношення α внутрішнього діаметра до зовнішнього здебільшого задають заздалегідь.
В процесі кручення поперечні перерізи стержня повертаються один відносно одного на деякий кут, який називається кутом закручування φ. Для ділянки стержня сталого поперечного перерізу, на якій крутний момент є постійним, кут закручування в радіанах, відповідно до закону Гука, визначається за формулою
, (11)
де G – модуль зсуву матеріалу стержня, l – довжина ділянки.
Кут закручування в градусах знаходимо з урахуванням (11) у вигляді
. (12)
Кут закручування ділянки стержня, віднесений до одиниці її довжини, називається відносним кутом закручування і визначається в рад/м, згідно з (11), за формулою
. (13)
Відповідно до залежності (12), відносний кут закручування у град/м знаходимо як
. (14)
Визначивши відносний кут закручування стержня за допомогою співвідношення (13) або (14), перевіряємо умову жорсткості стержня за формулою
або , (15)
де θmax і θomax – найбільше із значень відносного кута закручування, знайдене відповідно у радіанах та в градусах; [θ] і [θo] – допустимі значення відносного кута закручування в радіанах та в градусах.
З урахуванням співвідношення (14) та другої залежності (15) запишемо умову жорсткості у вигляді
. (16)
Застосовуючи формулу (16) і беручи до уваги залежність (2), визначаємо діаметр круглого стержня за умовою жорсткості
. (17)
Аналогічно з урахуванням (3) та (16) визначаємо зовнішній діаметр стержня кільцевого поперечного перерізу за умовою жорсткості
. (18)
Отже, діаметр круглого поперечного перерізу стержня повинен одночасно задовольняти умову міцності (9) та умову жорсткості (17). Відповідні умови, яким повинен задовольняти зовнішній діаметр кільцевого поперечного перерізу виражаються залежностями (10) та (18).