- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни
- •Загальні вказівки щодо виконання курсової роботи
- •Задача 1. Розрахунок плоскої статично невизначної шарнірно-стрижневої системи
- •Умова задачі
- •Числові значення геометричних параметрів і складових навантаження
- •Основні теоретичні відомості
- •Приклад розв’язання задачі
- •Умова задачі
- •Числові значення геометричних параметрів і складових навантаження
- •Числові значення геометричних параметрів і складових навантаження
- •2. Основні теоретичні відомості
- •3. Приклад розв’язання задачі
- •Умова задачі
- •Числові значення геометричних параметрів і складових навантажень балки
- •2. Основні теоретичні відомості
- •Основні поняття. Поперечні сили та згинальні моменти
- •Розрахунок балок на міцність
- •3. Приклад розв'язання задачі
- •Задача 4. Підбір поперечних перерізів центрально стиснутих стержнів
- •Умова задачі
- •2. Основні теоретичні відомості
- •2.1. Форми рівноваги пружного стиснутого стрижня
- •2 .2. Визначення критичної сили. Критичне напруження
- •3. Діаграма критичних напружень
- •4. Проектний розрахунок стиснутих стрижнів на стійкість
- •070106 “Автомобільний транспорт”
Розрахунок балок на міцність
При поперечному згині балки ( , ) у її поперечних перерізах виникають нормальні та дотичні напруження.
Нормальні напруження в довільній точці перерізу визначаються за формулою
, (2)
де М(х) – згинальний момент в розглядуваному перерізів балки, значення якого беремо з епюри М(х); Iz – осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі ; – ордината точки перерізу, в якій визначається напруження. Знак нормальних напружень визначається у відповідності до дії згинального моменту.
|
Рис. 5. Розполіл нормальних напружень по перерізу балки |
Із формули (2) випливає, що нормальні напруження по висоті балки змінюються за лінійним законом, їх епюра показана на рис. 5.
У точках перерізу, найбільш віддалених від нейтральної осі , та в поперечному перерізі з найбільшим за абсолютною величиною згинальним моментом виникають найбільші нормальні напруження
, (3)
де Wz – осьовий момент опору перерізу.
Моменти інерції Iz і моменти опору Wz обчислюються за такими формулами, зокрема:
а) для прямокутного перерізу висотою h і шириною b
; (4)
б) для круглого перерізу діаметром d
. (5)
Моменти інерції та моменти опору прокатних профілів (двотавр, швелер) приведені у відповідних таблицях сортаментів.
3. Приклад розв'язання задачі
Виконати розрахунок на міцність і жорсткість статично визначеної двотаврової балки (рис.7, а), модуль пружності матеріалу якої дорівнює , допустиме напруження взяти [ ]=160 МПа. В ході розрахунку виконати наступне:
Визначити опорні реакції;
Побудувати епюру поперечних сил;
Побудувати епюру згинальних елементів;
Перевірити балку на міцність за найбільшими нормальними напруженнями, форма перерізу балки задається.
Визначення опорних реакцій.
З умов рівноваги балки маємо:
Перевірка:
Значення та напрямки реакцій показані на рис. 6, а.
Рис. 6. Розрахункова схема балки (а) і епюри поперечних сил (б),
згинальних моментів (в) та прогинів (г)
Побудова епюри поперечних сил.
Для окремих ділянок балки знаходимо:
а) ділянка І (0 ≤ х ≤ 1):
б) ділянка ІІ (1 ≤ х ≤ 3):
в) ділянка ІV (0 ≤ х ≤ 1):
г) ділянка ІІІ (1 ≤ х ≤ 3):
За обчисленими значеннями Q(x) будуємо епюру (див рис. 7, б).
Побудова епюри згинальних моментів.
Для окремих ділянок маємо:
а) ділянка І (0 ≤ х ≤ 1):
б) ділянка ІІ (1 ≤ х ≤ 3):
На цій ділянці поперечна сила змінює знак в точці де поперечна сила . У цій точці згинальний момент набуває екстремального значення:
.
У характерних точках ділянки значення згинального моменту:
;
в) ділянка ІV (0 ≤ х ≤ 1): ,
;
г) ділянка ІІІ (1 ≤ х ≤ 3):
,
.
За обчисленими значеннями згинальних моментів будуємо епюру, яка зображена на рис. 7, в.
Перевірка міцності балки за найбільшими нормальними напруженнями.
Для заданого перерізу згідно формули (10) будемо мати
.
Отже, необхідно визначити момент опору для заданого перерізу відносно осі z.
Даний поперечний переріз (рис. 7) має вертикальну вісь симетрії і тому центр ваги буде лежати на цій осі. Розбиваємо даний переріз на три фігури: прямокутник (позначений на рисунку номером 2) розміром см, та два прямокутних трикутники (позначені на рисунку номерами 1 та 3), симетрично розташовані відносно осі симетрії перерізу. Виберемо базову систему координат наступним чином: вісь співпадає з віссю симетрії перерізу, а вісь - горизонтальна і проходить через найнижчу точку перерізу.
Рис. 7
Площі отриманих фігур рівні:
;
.
В изначимо відносно базової системи координат положення центра ваги поперечного перерізу. Для цього визначимо координати центрів ваги фігур відносно базової системи координат:
;
.
Знайдемо координату :
.
На рисунку показано положення центра ваги - . Виберемо в цій точці центральну систему координат . Ця система координат є головною, оскільки вісь співпадає з віссю симетрії. Обчислимо координати центрів ваги всіх трьох частин фігури відносно цієї системи координат.
; ;
; .
Перевірка правильності обчислення координати центра ваги фігури.
Визначення головних центральних моментів інерції:
.
;
;
;
Визначення радіусів інерції перерізу:
Визначення моментів опору перерізу.
Відносно осі : . Найбільш віддаленими точками перерізу від осі є точки нижньої кромки перерізу. Тому .ю Таким чином:
.
Умова міцності виконується.