Компактные метрические пространства

Важную роль в математическом анализе играет теорема Больцано-Вейерштрасса, согласно которой из всякой ограниченной последовательности вещественных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Это свойство является чрезвычайно важным. Для метрических пространств оно формализуется следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Метрическое пространство Х называется компактным, если из всякой последовательности в Х можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Компактное подпространство метрического пространства будем называть также компактным множеством.

Компактные пространства (и подпространства) обладают двумя важными свойствами.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8. Компактное пространство является ограниченным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть напротив пространство Х неограниченное. Это означает, что для некоторой точки аХ и любого n=1,2,… существует точка x_n такая, что (а,x_n)  n. Любая подпоследовательность последовательности {x_n} неограниченная и по п. не может быть сходящейся. Следовательно, пространство Х некомпактное.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9. Компактное подпространство Y метрического пространства Х является замкнутым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка аХ является предельной для Y. В шаре B(a,1/n) выберем точку х_nY\{a}. По построению х_nа в пространстве Х. а тогда и любая подпоследовательность {х_n} также сходится к a. Поскольку подпространство Y компактное, то некоторая подпоследовательность {х_n} сходится в подпространстве Y. Следовательно, aY, т.е. подпространство Y замкнутое.

Для конечномерных пространств условия предложений 8 и 9 являются также и достаточными.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы подпространство Y пространства было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость содержится в предложениях 8 и 9. Докажем достаточность. Пусть {х^(k)}Y. Из ограниченности множества Y следует, что числовая последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее извлекается сходящаяся подпоследовательность. Для простоты сохраним за ней то же обозначение {х^(k)}. Аналогично предыдущему, из нее можно выделить подпоследовательность, у которой сходится последовательность вторых компонент. Продолжая построение, через n шагов получим последовательность {х^(k)}, у которой сходится каждая из последовательностей приi=1,2,…,n. Если , тох^(k)х⁽⁰⁾. В силу замкнутости подпространства Y справедливо свойство х⁽⁰⁾Y. Тем самым подпространство Y компактное.

В других пространствах это утверждение неверно. Так, в дискретном пространстве компактные множества только одноточечные, хотя все подпространства замкнутые и ограниченные. В пространстве т множество векторов, описанное в примере п. , также замкнутое и ограниченное, но не компактное.

В компактных пространствах справедлив аналог теоремы о вложенных шарах в более сильной форме.

ТЕОРЕМА 4 (Кантор). Любая вложенная последовательность компактных подмножеств в метрическом пространстве имеет непустое пересечение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО является темой реферата.

Следующее свойство в значительной степени проясняет полезность понятия компактности.

ТЕОРЕМА 5. Образ компактного метрического пространства X при непрерывном отображении является компактным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть отображение f:XY непрерывное, причем f(X) = Y. Рассмотрим последовательность {y_n}Y. Выберем точки х_n такие, что f(х_n)=y_n. Такие точки существуют, поскольку f(X)=Y, их может быть и более одной при каждом п. Поскольку пространство X компактное, то из последовательности {х_n} можно извлечь сходящуюся подпоследовательность . Пусть. Тогдав силу непрерывности отображенияf . Тем самым, из последовательности {y_n}извлекается сходящаяся подпоследовательность, что и требовалось.

Важный частный случай. Если f:XR – непрерывное отображение компактного пространства в множество вещественных чисел, то образ f(X) компактен. Но любое компактное подмножество прямой является замкнутым и ограниченным (теорема Больцано-Вейерштрасса). Следовательно, вещественная непрерывная функция, определенная на компактном метрическом пространстве, имеет наибольшее и наименьшее значения – обобщение теоремы Вейерштрасса из математического анализа.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Прообраз компактного множества при непрерывном отображении может не быть компактным. Например, функция sin(x) отображает некомпактное пространство () на компактное [1,1].

2. В теореме компактность нельзя заменить полнотой. Например, функция отображает полное пространство [1,) на неполное (0, 1].

Поясним связь между понятиями замкнутости, полноты и компактности.

1. Замкнутость является свойством внешним, т.е. предполагается наличие объемлющего метрического пространства. Любое метрическое пространство является собственным замкнутым подмножеством (см. п. ). Компактность и полнота являются внутренними свойствами метрических пространств.

2. Из компактности следует полнота (см. задачу 3.4), обратное неверно. Пример  пространство R.

3. В то же время, полное подпространство является замкнутым (задача 3.16).

Упражнения

3. 1. Пусть  - метрика в пространстве X. Докажите, что

*(x,y) = min{(x,y),1} также метрика, причем, если исходное пространство полное, то полным является и модифицированное пространство.

3.2. Докажите, что объединение конечного и пересечение любого числа замкнутых множеств являются замкнутыми.

3.3. Пусть f(x) – строго монотонная функция, определенная на множестве R. Докажите, что (x,y) = f(x) f(y) метрика.

3.4. Докажите, что если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то сходится и сама последовательность.

3.5. Пусть {x_n},{y_n} – фундаментальные последовательности. Докажите, что существует предел lim (x_n, y_n).

3.6. В каких из пространств т, l¹, l² сходятся последовательности

а) {x⁽ⁿ⁾}=,

б) {x⁽ⁿ⁾}=,

в) {x⁽ⁿ⁾}=?

3.7. В каких из пространств С,L¹_c на отрезке сходятся последовательности

а) f_n(x)=sin(x/n),

б) f_n(x)=e^n(x1),

в) f_n(x)=(1х)хⁿ?

3.8. Докажите, что из сходимости последовательности непрерывных функций в пространстве С следует сходимость в пространстве L²_c, а наоборот не обязательно.

3.9. Докажите, что из сходимости последовательности непрерывных функций в пространстве L²_c следует сходимость в пространстве L¹_c, а наоборот не обязательно.

3.10. Открыто ли множество U={(x₁,x₂,…,x_n,…)l²: n x_n>0} в пространстве l²?

3.11. Докажите, что множество U ={f(x)C: f(x) > 0 при x [0,1/2]} не замкнуто в пространстве С.

3.12. Являются ли множества

а) {xX:(x,a) = 1},

б) {xX:(x,a) = (x,b)}

замкнутыми в метрическом пространстве Х?

3.13. Докажите, что полное подпространство метрического пространства является замкнутым.

3.14. Докажите, что функция f(x) = непрерывна на пространствеl¹.

3.15. Докажите, что непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства является гомеоморфизмом.

3.16. Докажите, что отображение А компактного метрического пространства в себя, удовлетворяющее условию (Ах,Аy) < (х,y) имеет неподвижную точку. Справедливо ли это заключение, если (Ах,Аy)  (х,y)?