Темы рефератов

Пополнение метрических пространств.

Теоремы о вложенных шарах в полном метрическом пространстве и о вложенных компактах.

Множества первой и второй категории в полных метрических пространствах. Теорема Бэра.

Применение принципа сжимающих отображений для систем линейных уравнений.

Применение принципа сжимающих отображений для интегральных уравнений.

Сепарабельность метрических пространств, примеры.

Относительная компактность и вполне ограниченность.

Компактность и открытые покрытия.

Метрическое пространство всех последовательностей.

Пространства L^p и их свойства.

Пространства l^p и их свойства.

Факторпространства линейных нормированных пространств.

Задача о наилучших приближениях.

Теорема Арцела о компактности в пространстве С.

Разложения Фурье в гильбертовом пространстве. Неравенство Бесселя. Замкнутые системы элементов.

Функции линейных операторов.

Норма интегрального оператора.

Продолжение линейных операторов.

Теорема Банаха-Штейнхауса. Следствия.

Теорема Банаха об обратном операторе.

Теоремы о замкнутом графике и открытом отображении.

Банаховы пространства с базисом. Примеры.

Теорема Хана-Банаха в линейных нормированных пространствах.

Отделимость выпуклых множеств.

Функции с ограниченным изменением. Общий вид линейного функционала в пространстве С.

Общий вид линейного функционала в пространстве l^p.

Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Сопряженные операторы. Примеры.

Вопросы зачета

Сходимость в метрическом пространстве. Единственность предела и ограниченность сходящихся последовательностей.

Конечномерные метрические и линейные нормированные пространства.

Пространство С. Дискретные метрические пространства.

Пространства m,c.

Пространства L^p.

Пространства l^p.

Свойства замыканий.

Внутренние точки. Открытые множества.

Непрерывные отображения. Их характеристики.

Сходимость и фундаментальность последовательностей. Полнота.

Принцип сжимающих отображений.

Свойства компактных подпространств.

Компактность непрерывного образа компактного множества.

Непрерывность линейных операций и нормы в линейных нормированных пространствах.

Свойства шаров в ЛНП.

Теорема Ф.Рисса о подпространствах.

Изоморфизм и изометрия ЛНП. Свойства.

Изоморфизм конечномерных пространств.

Локальная компактность и конечномерные пространства.

Критерий компактности в пространстве l^p.

Гильбертовы пространства, норма и углы в гильбертовых пространствах.

Непрерывность скалярного произведения.

Ортогональность и проекция в гильбертовом пространстве.

Пространство линейных операторов.

Непрерывность и ограниченность линейных операторов в ЛНП.

Норма линейного оператора.

Сопряженные пространства. Примеры. Рефлексивные и нерефлексивные пространства.