Полные метрические пространства

Важнейшим классом последовательностей являются фундаментальные (или сходящиеся в себе).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Последовательность {x_n} в метрическом пространстве называется фундаментальной, если >0 N n>N p (x_n x_n+p)<.

Это означает, что элементы последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Если последовательность {x_n}сходится, то она фундаментальная.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x_nа, >0. При достаточно больших п справедливо неравенство (x_n, а)</2. А тогда для тех же п и любого натурального p справедливо неравенство (x_n+р а) < /2. Применяя неравенство треугольника, получим (x_n, x_n+р)  (x_n а) + (x_n+р а) < /2+/2 = , что и требовалось.

Обратное утверждение в общем случае неверно. Класс метрических пространств, в которых оно выполняется, выделяется следующим понятием.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится.

В курсе математического анализа доказана теорема Коши, которая в свете определения 10 означает, что метрическое пространство вещественных чисел является полным.

Приведем простой пример неполного метрического пространства. Пусть Х = (0,1) с обычным расстоянием (x,y) =xy, пусть x_n = 1/n. Поскольку эта последовательность сходится в метрическом пространстве всех вещественных чисел, она является фундаментальной. Ее предел равен 0, поскольку 0Х, то пространство Х полным не является.

Справедливо следующее утверждение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Замкнутое подпространство Y полного метрического пространства X является полным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {x_n}  фундаментальная последовательность в Y. Поскольку Y подпространство X и пространство X полное, то x_nx₀ в X. По определению x₀ предельная точка последовательности {x_n}, а тогда и множества YX. Поскольку множество Y замкнутое, то x₀Y, т.е. последовательность {x_n} сходится в Y, что и требовалось.

Докажем, что конечномерные метрические пространства являются полными. Пусть последовательность {х^(k)} фундаментальная. Поскольку _p(x^(k), x^(k+s)), то из фундаментальности последовательности {х^(k)} следует фундаментальность числовой последовательности при любомi=1,2,…,n. Из полноты пространства вещественных чисел следует, что последовательность сходится при любомi. Пусть . Поскольку сходимость в пространстверавносильна покомпонентной сходимости (см. ), тох^(k)х⁽⁰⁾=, т.е. пространствоявляется полным.

Докажем полноту пространства С. Пусть последовательность функций {x_n} является фундаментальной. При любом t[0,1] справедливо неравенство (х_n, х_n+p). Отсюда следует, что числовая последовательность {x_n(t)} является фундаментальной. Из полноты пространства вещественных чисел следует, что эта последовательность сходится, обозначим ее предел через x₀(t). Таким образом, функциональная последовательность {x_n} сходится поточечно к функции x₀. Докажем, что на самом деле сходимость равномерная. Пусть >0. Существует такой номер N, что при n>N и любом р выполняется неравенство . Переходя к пределу при p получим . Но это означает, что x_n x₀ равномерно. Поскольку функции x_n непрерывные, то по известной теореме математического анализа функция x₀(t) также непрерывна, т.е. x₀(t)С[0,1]  последовательность {x_n} сходится в пространстве С.

Дискретное метрическое пространство является полным, поскольку члены любой фундаментальной последовательности совпадают, начиная с некоторого, т.е. такая последовательность сходится.

Пространство L^p_с полным не является. Ограничимся примером, оставляя подробный анализ читателю. Рассмотрим функции

(п=3,4,…. ).

Эта последовательность фундаментальная, но не сходится в L^p_с (вычислите поточечный предел этой последовательности). Если рассматривать более широкий класс функций (подвергнуть пространство L^p_с так называемому пополнению), то полученное пространство L^p станет полным. Эти вопросы остаются за рамками нашего курса.

Отметим, что пространства m,c.l^p являются полными.

Следующая теорема является частичным обобщением принципа вложенных отрезков, известного из математического анализа: любая последовательность вложенных отрезков [a₁,b₁]  [a₂,b₂]  …  [a_n,b_n]  … имеет общую точку, причем если (b_na_n)0, то такая точка единственная.

ТЕОРЕМА 1. Вложенная последовательность замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0, в полном метрическом пространстве имеет единственную общую точку. Обратно, если любая такая последовательность шаров имеет общую точку, то пространство полное.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО является темой реферата. Следует отметить, что для открытых шаров теорема несправедлива (например, пересечение интервалов пустое).

Следующая теорема, принадлежащая классику функционального анализа польскому математику Стефану Банаху, имеет многочисленные приложения в самых разных областях математики.

Предварительно дадим следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Отображение A:XX метрического пространства X в себя называется сжимающим, если при некотором числе (0,1) для любых точек x,yX выполняется неравенство (Ax,Ay)  (x,y).

ТЕОРЕМА 2. (Принцип сжатых отображений). Если A – сжимающее отображение в полном метрическом пространстве X, то существует единственная неподвижная точка y отображения A, т.е. такая, что Ay=y.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Сжимающее отображение является непрерывным. Действительно, пусть х_nх₀. Тогда (Aх_n,Aх₀)  (x_n,х₀). Поскольку (x_n,х₀)0 и метрика неотрицательная, то по теореме «о милиционерах» (Aх_n,Aх₀)0, т.е. Aх_nAх₀, что и требовалось.

2. Пусть х₀ – произвольная точка пространства X. Построим последовательность х₁ = Ах₀, х₂ = Ах₁,…, х_n+1 = Ах_n,… . Докажем, что эта последовательность фундаментальная (это центральный элемент доказательства). Пусть  = (x₁,х₀). Тогда

(x₂,х₁) = (Аx₁,Ах₀)  (x₁,х₀) = ,

(x₃,х₂) = (Аx₂,Ах₁)  (x₂,х₁) = ²,

…

(x_n+1,х_n) = (Аx_n,Ах_n1)  (x_n,х_n1) = ⁿ,

…

Применяя неравенство треугольника несколько раз, получим:

(х_n+p,x_n)(x_n+1,х_n)+(x_n+2,х_n+1)+…+(х_n+p,x_n+p1)  (ⁿ+ⁿ⁺¹+…+^n+p1) < (ⁿ+ⁿ⁺¹+…+^n+p1+…) = ⁿ/(1).

В этой выкладке конечная геометрическая прогрессия заменена бесконечной и использована формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (это так, поскольку <1). Поскольку ⁿ0, расстояние (х_n+p, x_n) становится сколь угодно малым при достаточно больших значениях п независимо от р. Это и означает, что последовательность {x_n} фундаментальная.

3. Поскольку пространство X полное, то последовательность {x_n} сходится к некоторой точке y. Проверим, что Аy = y. Для этого рассмотрим равенство х_n+1=Ах_n. При возрастании n имеем х_n+1y и Ах_nАy в силу непрерывности А. Отсюда и следует нужное равенство. Таким образом, неподвижная точка существует.

4. Докажем единственность неподвижной точки. Пусть z также является неподвижной точкой отображения А. Тогда (y,z) = (Аy, Аz)  (y, z). Отсюда (y, z)(1)  0. Поскольку 1 > 0, а (y,z)  0, то (y,z) = 0, что означает y = z. Теорема доказана.