Гильбертовы пространства

Евклидовы пространства в линейной алгебре характеризовались тем, что в них естественным образом определялось не только расстояние, но и угол между векторами, в частности, ортогональность. Естественно попытаться перенести эти свойства в общую ситуацию. Часть рассуждений (например, неравенство Коши-Буняковского) аналогичны курсу линейной алгебры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. Пусть Х – линейное пространство и каждой паре векторов из Х сопоставлено вещественное число (скалярное произведение (x,y)), удовлетворяющее следующим условиям:

- симметричность (x,y) = (y,x);

- ассоциативность по сложению(x₁ + x₂,y) = (x₁,y) + (x₂,y);

- ассоциативность по умножению на скаляры (x,y) = (x,y);

- неотрицательность (x,x)  0, причем равенство (x,x) = 0 выполняется только при x = 0. Такое пространство называется пространством со скалярным произведением.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 15 (Неравенство Коши-Буняковского). Для скалярного произведения справедливо неравенство (x,y)²  (x,х)(y,y).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из неотрицательности скалярного произведения следует, что при любом  выполняется неравенство (x + y,x + y)  0. Раскрывая скобки, используя ассоциативные правила и симметричность, получим: ²(y,y) + 2(x,y) + (x,х)  0. Левая часть является квадратным трехчленом. Поскольку неравенство выполняется при любом , то дискриминант трехчлена неположителен, т.е. (x,y)²  (x,х)(y,y)  0, что и требовалось.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 16. Величина является нормой в пространстве со скалярным произведением.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Неотрицательность следует из неотрицательности скалярного произведения.

2. 

3. 

.

По неравенству Коши-Буняковского, . Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим неравенство.

Пусть дано линейное нормированное пространство. Когда в нем можно определить скалярное произведение, порождающее норму? Известно множество таких условий. Одно из них имеет следующий вид.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 17. В пространстве со скалярным произведением выполняется следующее тождество: ||x + y||² + ||x  y||² = 2||x||² + 2||y||².

Это известное из школьной геометрии свойство параллелограмма: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин его сторон.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В пространстве со скалярным произведением выполняются равенства

||x + y||² = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = ||x||² + 2(x, y) + ||y||²,

||x  y||² = (x  y, x  y) = (x, x)  2(x, y) + (y, y) = ||x||²  2(x, y) + ||y||².

Складывая, получим нужное тождество.

Справедливо и обратное утверждение: если норма удовлетворяет неравенству параллелограмма, то формулой

(x, y) = (||x + y||²  ||x||²  ||y||²)/2 определено скалярное произведение – в доказательстве нуждаются свойства скалярного произведения (упражнение 4.13).

Из предложения 17 легко следует, что пространство С не является пространством со скалярным произведением. Рассмотрим функции х(t) = t, y(t) = 1t. Тогда х(t) + y(t) = 1, х(t)  y(t) = 2t1. По определению нормы в пространстве С, ||x|| = ||y|| = ||x + y|| = ||x  y||=1, т.е. равенство из предложения 17 нарушено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Бесконечномерное линейное пространство со скалярным произведением, полное относительно соответствующей нормы, называется гильбертовым (по имени одного из крупнейших математиков 20 века Давида Гильберта). Гильбертово пространство будем обозначать символом Н.

Из пространств, рассмотренных выше, гильбертовым является пространство l² (со скалярным произведением , необходимо доказать, что ряд сходится).

Докажем, что скалярное произведение является непрерывной функцией сомножителей.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 18. Если в пространстве со скалярным произведением x_n  x, y_n  y, то (x_n,y_n)  (x,y).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (x_n,y_n)(x,y)= = (x_n,y_n)(x,y_n)+(x,y_n)(x,y)= (x_nx,y_n)+(x,y_ny) 

(x_nx,y_n) +(x,y_ny) ||x_n  x||||y_n|| + ||x||||y_n  y||.

Поскольку ||x_n  x|| 0, ||y_n  y|| 0 и в силу сходимости последовательности {y_n} она ограничена, то (x_n,y_n)(x₀,y₀) 0.

Угол [0,] между векторами x,y определим по формуле . Из неравенства Коши-Буняковского следует, что правая часть этого равенства по модулю не превосходит 1, т.е. угол всегда определен. В частности, векторы ортогональны, если=/2, т.е. (x,y)=0. Обозначение xy Если L – линейное многообразие, то вектор x ортогонален L, если он ортогонален любому вектору из L. Обозначение xL.

Важным является следующий факт.

ТЕОРЕМА 11. Пусть L – подпространство гильбертова пространства Н. Любой вектор xН можно единственным образом представить в виде y + z, где y L, zL. Вектор y называется проекцией x на подпространство L.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверим сначала единственность представления. Пусть x = y+z = y₁+z₁, где y,y₁L, zL, z₁L. Тогда равные векторы yy₁, z₁z ортогональны, что по определению скалярного произведения означает, что они нулевые.

Докажем теперь существование такого представления. Будем считать, что xL и размерность L>0: если xL, то представление имеет вид x+0, если размерность L равна 0, то представление имеет вид 0+x. В силу замкнутости L величина . По определению точной нижней грани существуют вектораy_n такие, что . Ближайшей целью является доказательство фундаментальности последовательности {y_n}. Пусть h произвольный вектор из L. Тогда по определению величины d справедливы неравенства . Раскрывая скобки при вычислениях квадратов норм, получим:

Отсюда,

т.е.

Далее,

(y_m y_n,h) = (xy_n,h)  (xy_m,h)  ,

т.е.

(y_m y_n,h) .

Положим h = (y_m y_n)/2. Получаем неравенство

,

т.е. .

Тем самым при достаточно больших т,п расстояние между y_n и y_m сколь угодно мало, что и означает фундаментальность последовательности {y_n}. В силу полноты гильбертова пространства y_nyН. Поскольку y_nL и L - подпространство, т.е. замкнутое множество, то yL. Тогда по непрерывности нормы, поскольку

,

имеем

.

Докажем, наконец, что (xy)L. Из свойств скалярного произведения следует, что достаточно доказать, что (xy)h для любого вектора hL с нормой 1. Если  произвольное положительное число, то

.

Раскрывая квадраты скалярных произведений, аналогично предыдущему, получим ²  (xy,h)  ², откуда в силу произвольности  следует, что (xy,h)=0. Поскольку h произвольный вектор из L, то (xy)L. Теорема доказана.

Элемент y называется проекцией вектора x на подпространство L. Множество векторов, ортогональных L, является линейным подпространством (доказательство предоставлено читателю). Это подпространство L₁ называется ортогональным дополнением L и обозначается L^, а пространство Н называется прямой суммой подпространств L и L^ (обозначение Н=LL^).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Бесконечное семейство векторов называется линейно независимым, если таковым является любое его конечное подсемейство. Среди линейно независимых семейств в гильбертовом пространстве выделяются ортонормальные семейства. Так называется система векторов (a₁, a₂, …, a_n,…), у которой (a_i,a_j) = 0 при i  j и (a_i, a_i) = 1 при всех i. Читателю рекомендуется самостоятельно проверить линейную независимость такой системы.

По любой системе векторов (f₁,f₂,…,f_n,…) в гильбертовом пространстве можно построить ортонормальную систему (a₁, a₂, …, a_n,…) с помощью следующей конструкции. Для простоты положим f₁0. Вектор a₁=₁ f₁. Вектор a₂ есть линейная комбинация векторов f₁, f_n1, где вектора f₁, f_n1 линейно независимы, а вектора f₁,f₂,…,f_n11 линейно зависимы при n1>2. Вектор a₃ есть линейная комбинация векторов f₁, f_n1, f_n2 (n2>n1), если векторы f₁, f_n1, f_n2 линейно независимы, а векторы f₁, f_n1, f_n1+1,…, f_n21 линейно зависимы при n2>n1+1, … . Процедура построения (ортогонализация Гильберта-Шмидта) полностью аналогична построению, описанному в курсе линейной алгебры, подробности здесь опущены.

Применение процедуры ортогонализации позволяет получить следующий принципиально важный факт.

ТЕОРЕМА 12. Всякое гильбертово пространство, в котором существует всюду плотная (п. ) последовательность элементов (f₁,f₂,…,f_n,…) (такие пространства называются сепарабельными), изометрично (п. ) пространству l².

Доказательство здесь опускается. Таким образом, фактически существует только одно гильбертово пространство с всюду плотной последовательностью элементов.

Упражнения

1. Пусть а[0,1] и С_a={xС: x(а)=0}. Докажите, что С_a подпространство С. Является ли оно всюду плотным? А если это множество рассматривать в пространстве L²?

2. Докажите, что множество функций из С, для которых , является бесконечномерным подпространством вС.

3. Пусть а[0,1] и С_a,h={xС: x(а)=h}. Докажите, что С_a,h аффинное многообразие в С. Является ли оно всюду плотным? А если это множество рассматривать в пространстве L²?

4. Докажите, что множество функций из С, непрерывно дифференцируемых на интервале (0,1), является линейным многообразием, но не подпространством в С.

5. В гильбертовом пространстве даны последовательности {x_n},{y_n} такие, что ||x_n||  1, ||y_n||  1 и (x_n,y_n) 1. Докажите, что ||x_ny_n||  0.

6. Докажите, что множество {x: ||xa|| = ||xb||} является выпуклым в гильбертовом пространстве. Верно ли это заключение для произвольного банахова пространства?

7. Докажите, что образ и прообраз выпуклого множества при линейном отображении являются выпуклыми.

8. Пусть для множеств A,B в линейном пространстве A+B = {x+y: xA, yB}. Докажите, что множество А в линейном пространстве является выпуклым тогда и только тогда, когда для любых положительных ,  справедливо равенство (+)А = А+А.

9. Пусть в банаховом пространстве Х А замкнутое и B компактное множества. Докажите, что множество А+B замкнутое. При этом из замкнутости А и B не следует замкнутость А+B.

10. Докажите непосредственно, что множество {xl²:x_i  1/i} компактно в l².

11. Докажите, что любое семейство замкнутых ограниченных выпуклых множеств в гильбертовом пространстве имеет непустое пересечение. Верно ли это для любого банахова пространства?

12. Докажите, что любое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства содержит единственную точку с минимальной нормой.

13. Докажите, что тождество параллелограмма в линейном нормированном пространстве L не только необходимо, но и достаточно для того, чтобы в L существовало скалярное произведение, порождающее норму.

14. Исследуйте на компактность множества {tⁿ: n=1,2,……} и {sin(2nt): n=1,2,…} в пространствах С и L².

15. Пусть L конечномерное подпространство линейного нормированного пространства Х, хХ. Докажите, что существует вектор yL такой, что ||х y||  ||х z|| для любого вектора zL.