Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества

Понятие предельной точки подмножества вещественных чисел рассматривалось в курсе математического анализа. В общем случае это понятие имеет следующий вид.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть Х - метрическое пространство, М Х, аХ. Точка а называется предельной точкой М, если в любой окрестности а есть точки множества М\{a}. Последнее означает, что в любой окрестности а есть точки множества М, отличные от а.

Замечания. 1. Предельная точка может, как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, 0 и 1 являются предельными точками множества (0,2), но первая ему не принадлежит, а вторая принадлежит.

2. Точка множества М может не являться его предельной точкой. В этом случае она называется изолированной точкой М. Например, 1  изолированная точка множества (1,0){1}.

3. Если предельная точка а не принадлежит множеству М, то найдется последовательность точек х_n M, сходящаяся к а в этом метрическом пространстве. Для доказательства достаточно взять открытые шары в этой точке радиусов 1/n и выбрать из каждого шара точку, принадлежащую М. Верно и обратное, если для а есть такая последовательность, то точка является предельной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Замыканием множества М называется объединение М с множеством его предельных точек. Обозначение .

Отметим, что замыкание шара не обязано совпадать с замкнутым шаром того же радиуса. Например, в дискретном пространстве (пример 8 п. ) замыкание шара B(a,1) равно самому шару (состоит из одной точки a) в то время как замкнутый шар (a,1) совпадает со всем пространством.

Опишем некоторые свойства замыкания множеств.

1. М. Это следует непосредственно из определения замыкания.

2. Если М  N, то . Действительно, еслиa ,a М, то в любой окрестности a есть точки множества М. Они же являются точками N. Поэтому a. Для точек изМ это ясно по определению.

3. . Поскольку ММN, N МN, то ,по свойству 2, откуда.

Докажем обратное включение. Рассмотрим точку а. ЕслиаМN, то, очевидно, что а. Пусть теперьа\(МN). В силу замечания 3, найдется последовательность точек х_n  МN, сходящаяся к точке а. Так как множеств всего два, а членов последовательности бесконечное число, то по крайней мере одно из них (например, М) содержит бесконечное число членов последовательности, т.е. существует такая подпоследовательность, что  М и  а. Это означает (см. замечание 3), что а  . Таким образом,и утверждение доказано.

4. . По свойству 1 . Пустьа. Докажем, чтоа. Пусть напротив а. Идея очевидна: в любой окрестности точкиа есть точки множества , а в окрестностях последних есть точкиМ. Более точно. Пусть r > 0. В шаре B(a,r/2) есть точка b  a множества . В шареB(b,(a,b)/2) есть точка сМ. Поскольку по обратному неравенству треугольника (a,с)  (a,b) (b,с)  (a,b)  (a,b)/2 = (a,b)/2 > 0, то a  с. В то же время (a,с)  (a,b) + (b,с) < 3(a,b)/2 < r. Таким образом, поскольку число r произвольное, то в любой окрестности точки a есть точки множества М, отличные от a, т.е. а . Противоречие завершает доказательство.

5. Замыкание пустого множества пустое. Это соглашение не следует из общего определения, но является естественным. Например, сохраняется свойство 3, если одно из множеств пустое.

Особую роль играют множества, совпадающие со своими замыканиями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Множество M  X называется замкнутым, если ₌ M.

Множество M  X называется открытым, если замкнуто множество X\M.

Множество M  X называется всюду плотным в X, если ₌ X.

Открытые множества можно охарактеризовать и иначе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Точка а называется внутренней точкой множества M, если B(a,r)M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точка а называется внешней точкой множества M, если шар B(a,r)Х/M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка не входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точки, которые не являются ни внутренними, ни внешними точками множества M, называются граничными.

Таким образом, граничные точки характеризуются тем, что в каждой их окрестности есть точки как входящие, так и не входящие в M.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Для того, чтобы множество являлось открытым, необходимо и достаточно, чтобы все его точки были внутренними.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Необходимость. Пусть множество M открытое, а M. Поскольку множество X\M замкнутое, то точка а по определению замкнутого множества не является его предельной точкой. А тогда в некоторой окрестности точки а нет точек множества X\M, т.е. эта окрестность входит во множество M – точка а является его внутренней точкой.

2. Достаточность. Пусть все точки множества M внутренние и а предельная точка множества X\M. Это означает, что в любой окрестности а есть точки, не входящие в M, т.е. точка а не является внутренней точкой M. Отсюда аM, что равносильно тому, что аX\M – множество X\M замкнутое, следовательно, M открытое множество.

Примерами замкнутых множеств на прямой являются [a,b], [a,). Открытых – (a,b), (a,). Множество [a,b) не открытое и не замкнутое (оно не содержит предельную точку b, а дополнительное множество не содержит предельную точку a). Все метрическое пространство Х и пустое множество  в силу соглашения 5 являются одновременно открытыми и замкнутыми. В дискретных метрических пространствах все подмножества одновременно открытые и замкнутые.

Из свойства 3 замыканий следует, что объединение двух (а тогда и любого конечного семейства) замкнутых множеств замкнуто. Предлагается самостоятельно проверить, что объединение любого (в том числе бесконечного) семейства открытых множеств является открытым – это следует из предложения 4. В то же время, объединение бесконечного семейства замкнутых множеств может и не быть замкнутым, например, = (0, 1).