5. Линейные операторы Пространство линейных операторов

Пусть X,Y – линейные нормированные пространства. Понятие линейного оператора А: XY было введено в п. . Напомним, что это означает справедливость тождеств А(x₁+x₂) = А(x₁) + А(x₂), А(x) = А(x). Нас будут интересовать непрерывные линейные операторы. Их множество будем обозначать символом L(X,Y). В этом пункте в частности будет установлено, что L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства. Приведем несколько примеров.

1. Рассмотрим квадратную матрицу А = (а_ij) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). Рассмотрим отображение А: , действующее по правилуА(х₁,…,х_n) = . Из свойств матриц и векторов следует линейность оператора А. Напомним (п. ), что сходимость в пространстве покоординатная, т.е.х⁽ⁿ⁾х⁽⁰⁾, если приi=1,…,n. Отсюда следует, что А(х⁽ⁿ⁾)  А(х⁽⁰⁾), т.е. оператор А непрерывный. Обратно, любое линейное отображение А:  порождается некоторой матрицейА и автоматически является непрерывным (это доказывается в курсе линейной алгебры).

2. Пусть K(t,s) функция, непрерывная на квадрате 0  t  1, 0  s  1. Сопоставим функции х(t) C функцию y(s) =В курсе математического анализа установлено, что функцияy(s) непрерывная, т.е. y(s) C. Тем самым определен оператор A: CC. Его линейность следует из свойств интеграла. Далее, если (х₁,х₂) = maxх₁(t) х₂(t)<, то

y₁(t) y₂(t) 

Это неравенство означает, что рассматриваемый оператор непрерывный. Такой оператор называется интегральным с ядром K(t,s).

3. Рассмотрим оператор А: C  C, заданный формулой Ах(t) = . Из свойств интеграла следует линейность оператора. Непрерывность проверяется аналогично предыдущему примеру.

4. Рассмотрим линейное многообразие С, состоящее только из непрерывно дифференцируемых функций (п. ). Оператор дифференцирования является линейным. Последовательность {(sin nx)/n} равномерно (т.е. в метрике С) сходится к 0, но при этом последовательность производных не сходится. Тем самым, оператор дифференцирования непрерывным не является.

В классе линейных операторов непрерывность тесно связана с ограниченностью – в п. вводилось понятие, близкое к следующему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. Линейный оператор А: X  Y называется ограниченным, если существует такое положительное число Р, что ||Аx||  Р||x||. Здесь ||Аx||  норма элемента в пространстве Y, ||x||  норма элемента в пространстве X.

ТЕОРЕМА 13. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Пусть оператор А непрерывен. В предложении 14 установлено, что образ А(М)  Y всякого ограниченного подмножества М пространства X ограничен. В частности это так для шара ||x||  1. Пусть для точек из этого шара ||Аx||  Р. Рассмотрим произвольный вектор x  0. Тогда ||(x/||x||)|| = 1. Отсюда ||Аx||/||x|| = ||(Аx/||x||)|| = ||А(x/||x||)||  Р, т.е. ||Аx||  Р||x|| при x  0. Для нулевого вектора это неравенство очевидно.

2. Пусть оператор А ограниченный. При любых x, y выполняется неравенство ||Аx  Аy|| = ||А(x  y)||  Р||x  y||, откуда из условия x_n  x₀ следует, что Аx_n  Аx₀. Тем самым оператор непрерывный.

Удивительно, что множество линейных непрерывных операторов L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства.

1. Если А,B  L(X,Y), то суммой А+B линейных операторов называется оператор, действующий по правилу (А+B)(х) = Ах +Bх.

2. Если АL(X,Y), R, то произведением оператора на число называется оператор (А)(х) = (Ах). Поскольку в пространстве Y выполняются аксиомы линейного пространства (см. п. 1), то множество L(X,Y) с введенными операциями является линейным пространством. Нулевым является оператор 0(х) = 0 для всех х.

3. Определим норму оператора как . Поскольку оператор ограниченный, то||Аx||  Р||x|| при некотором Р, откуда число Р является верхней гранью множества {||Аx||: ||x||  1}, т.е. по теореме о точной верхней грани норма определена.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 19. Определенная функция действительно является нормой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Поскольку норма неотрицательная, то по определению  0. Пусть ||А||=0. Это означает, что ||А|| = 0 для всех векторов, для которых ||x||  1. Но тогда в силу линейности А это так и для всех x, поскольку ||А(x/||x||)|| = 0, т.е. оператор нулевой, первое свойство нормы доказано.

2. . Второе свойство нормы доказано.

3. Пусть ||x||  1. Тогда

||(А + B)(x)|| = ||Аx + Bx||  ||Аx|| + ||Bx||  ||А|| + ||B||.

Поскольку это неравенство выполняется для всех векторов x с нормой, не большей 1, то

||А|| + ||B||,

что и требовалось.

Предложение доказано.

Поскольку множество линейных непрерывных отображений имеет структуру линейного нормированного пространства, к нему применимы все результаты раздела 4. Приведем один результат такого типа.

ТЕОРЕМА 14. Если Y – банахово пространства, то и пространство L(X,Y) банахово.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть последовательность непрерывных операторов {A_n} является фундаментальной (п.). Рассмотрим произвольный вектор xX . Тогда ||А_nx  А_mx||  ||А_n  А_m||||x||, откуда следует фундаментальность последовательности {A_nx}  Y, а тогда из полноты Y следует сходимость этой последовательности. Обозначим предел через A₀x. Надо проверить линейность и непрерывность оператора A₀, а также тот факт, что ||А_n  А₀||  0.

1. Поскольку А_n(x+y) = A_nx+A_ny, то из отмеченной сходимости А₀(x+y) = A₀x+A₀y.

2. Точно так же проверяется, что А₀(x) = А₀x.

3. При любом >0 для достаточно больших n,m в силу фундаментальности последовательности {A_n} выполняется неравенство ||А_n  А_m|| < , т.е. ||А_nx  А_mx|| < ||x||. Устремляя m к , по теоремам о пределах получаем неравенство ||А_nx  А₀x||  ||x||. В силу произвольности x отсюда следует справедливость неравенства ||А_nА₀||  . Это означает, что А_n  А₀.

4. Осталось проверить ограниченность оператора А₀. Тогда ||А₀x||  ||(А₀  А_n)(x)|| + ||А_nx||. Если значение n выбрано как выше, то ||А₀x||  (||А_n|| + ) ||x||. Следовательно, оператор А₀ ограниченный, т.е. непрерывный (теорема 12). Теорема доказана.