Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства

В курсе линейной алгебры определялось понятие изоморфизма линейных пространств. Линейные пространства Х и Y называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение А: ХY такое, что А(х₁+х₂) = А(х₁) +А(х₂), А(х) = А(х). Отсюда следует, что семейство векторов {a₁,a₂,…,a_n} является базисом в пространстве Х тогда и только тогда, когда {Аa₁, Аa₂,…, Аa_n} – базис в пространстве Y. В курсе линейной алгебры доказано, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно совпадение их размерностей.

Для линейных нормированных пространств в понятие изоморфизма естественно включается и непрерывность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Пусть Х, Y  линейные нормированные пространства. Отображение А: ХY называется линейным (синоним: линейным оператором), если А(х₁+х₂) = А(х₁) + А(х₂), А(х) = А(х). Линейный оператор А называется изоморфизмом, если у него существует обратный и отображения А и А^1 непрерывные. Пространства Х, Y называются изоморфными, если существует изоморфизм А: ХY.

Очевидно, что отношение изоморфизма линейных нормированных пространств является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности (эти понятия рассматривались в курсе математического анализа).

Изоморфизм сохраняет замкнутость и открытость множеств как взаимно непрерывное отображение (п. ) и компактность (п. ). В общем случае при непрерывных отображениях не сохраняется ограниченность множеств (например, функция переводит ограниченное множество (0,1] в неограниченное [1,)). Для линейных операторов справедливо следующее утверждение, полезное и в главе 5.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 14. Если А: ХY линейное непрерывное отображение и МХ – ограниченное множество, то множество А(М) также ограниченное.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограниченность множества М означает, что при некотором значении d нормы всех точек из М не превосходят d. Пусть напротив множество А(М) не является ограниченным. Это означает, что для любого натурального n существует точка х_nМ такая, что ||А(х_n)|| >n. Рассмотрим точки y_n=х_n/n. Тогда ||y_n|| = ||х_n/n|| = ||х_n||/n /n  d/n0, т.е. y_n0. Но при этом ||А(y_n)|| = ||А(х_n/n)|| = ||А(х_n)||/n >1, т.е. неверно, что А(y_n)0, что противоречит непрерывности оператора А.

Для конечномерных линейных нормированных пространств справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 7. Любые два n – мерных линейных нормированных пространства изоморфны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу отмеченной транзитивности достаточно доказать, что любое n – мерное линейное нормированное пространство Х изоморфно евклидову пространству . Так удобно поступить, поскольку в линейной алгебре свойства этого пространства изучены достаточно подробно. Выберем в пространствеХ некоторый базис {a₁, a₂,…, a_n}. Любой вектор хХ единственным образом представим в виде х=. ОтображениеА:Хопределим формулойА=(х₁, х₂,…, х_n). Очевидно, что отображение А взаимно однозначное и обладает свойствами А(х₁+х₂) = А(х₁) + А(х₂), А(х) = А(х). Необходимо проверить непрерывность отображений А и А^1.

1. Из свойств нормы, . Неравенство Коши-Буняковского имеет вид. Если ввести обозначение=, то полученное неравенство примет вид. Отсюда, изАх_nАх₀ следует, что х_nх₀, т.е отображение А^1 является непрерывным.

2. Рассмотрим евклидову сферу S={y:} в евклидовом пространствеи рассмотрим функциюf: SR, заданную формулой f(y) =. Поскольку отображениеА биективное, то f(y) > 0 при y  0 (при отображении А нулевому элементу Х соответствует нулевой элемент ). По доказанному отображениеА^1 непрерывное, по предложению 11 норма также является непрерывным отображением. Таким образом, функция f непрерывна как суперпозиция непрерывных отображений (п.). Далее, сфера является замкнутым и ограниченным подмножеством евклидова пространства (убедитесь в этом самостоятельно). А тогда по теореме 3 сфера является компактным подмножеством евклидова пространства. По теореме 4 функция f достигает на S наименьшего значения . Из предыдущего следует, что  > 0. Тогда f(y)  . Если теперь y  произвольный ненулевой элемент , тоy/. Тем самым f(y/   > 0. Из свойств нормы и свойств изоморфизма получим неравенство  . Тем самым, справедливо неравенство   (очевидно, что это неравенство справедливо и при y=0). Полагая y=Ах, получим неравенство /. А это означает непрерывность отображения А. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают важные следствия. Поскольку пространство полное (п.), то в силу изоморфизма (он сохраняет сходимость) этим свойством обладает и всякое конечномерное линейное нормированное пространство. А отсюда (см. задачу 3.16) следует, что конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве является замкнутым, т. е. подпространством. Для бесконечномерных многообразий это не так. Например, рассмотрим в пространствеС множество всех многочленов. Оно является линейным многообразием, причем не совпадает с пространством С. Например, функция

является элементом пространства С (проверьте это), но многочленом не является, поскольку имеет бесконечное множество корней. В то же время, по известной из математического анализа теореме Вейерштрасса любая непрерывная функция на отрезке является пределом равномерно сходящейся последовательности многочленов, т.е. в терминологии метрических пространств замыкание многообразия многочленов совпадает со всем пространством С. Значит, линейное многообразие многочленов не является подпространством.

Понятие изометричности является более сильным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Метрические пространства Х, Y называются изометричными, если существует биективное отображение f: ХY, сохраняющее расстояния, т.е. такое, что (x,y) = (f(x), f(y)) (изометрия). Линейные нормированные пространства называются изометричными, если существует изоморфизм линейных пространств, сохраняющий нормы векторов (а тогда и расстояния). Такой изоморфизм называется изометрией.

С точки зрения функционального анализа изометричные линейные нормированные пространства обладают одними и теми же свойствами.

Заключение теоремы 6 при замене изоморфизма на изометрию не выполняется. Например, пространства не изометричны при различныхр. Проверим это в частном случае п=2; р=1, р=2. Пусть напротив изометрия f существует. Рассмотрим в пространстве векторых=(1,0) и y=(0,1). По определению нормы,

.

Тогда должны выполняться равенства

.

Если f(x) = (x₁,x₂), f(y) = (y₁,y₂), то из свойств линейного изоморфизма

.

Отсюда, должны выполняться равенства

x₁²+x₂²=1, y₁²+y₂²=1, .

Если первые два равенства умножить на 2 и сложить, а затем вычесть третье, умноженное на 4, получим равенство (х₁  y₁)² + (x₂  y₂)² = 0. Последнее равенство возможно лишь при х₁ = y₁ и x₂ = y₂, т.е. f(x) = f(y). А это противоречит биективности f.