I.Вступ

Останнім часом набули розвитку радіоелектронні системи зондування атмосфери та грунту (содари, рас­дари, георадари) [1,2]. Особливістю цих систем є просторовий характер конденсованого середовища до­слідження, що потебує побудови просторових моделей та розрізів. Радіотехнічні багатовимірні сигнали відріз­няються також наявністю значного рівня шумів.

Метою даної роботи є викладення особливостей об­робки багатовимірних сигналів за методом наймен­ших квадратів зі сплайновими моделями та порівняння резуль­татів обробки тестових даних з відомими методами.

II. Багатовимірні сплайни

Тривимірний сплайн можна записати у вигляді:

(1)

де – значення інтерпольованої функції у вузлах; , , – покоординатні базисні функції, які залежать від різновиду сплайну і значення аргументу; - тривимірна базисна сплайн-функція.

Для лінійних сплайнів функція прийме вигляд:

, (2)

де F -складові покоординатних базисних функцій.

Перемноживши отримаємо:

(3)

Запишемо значення 4D сплайну у матричній формі

S = WА, (4)

III.Де S – сплайн; W – матриця планування; А – оцінки у точках.

IV.Будемо шукати оцінки а для яких:

V.(Z-WA)’(Z-WA)→min (5)

а його рішення відносно А знаходять у вигляді:

Â=(W’W)^-1W’Z=C^-1B, (6)

Де S=[s₁,s₂,…,s_n] – вектор значень сплайну; W- матриця планування розмірності Z;

Â-вектор оцінок параметрів сплайну в точках.

С – матриця розмірності rхr де r=xu*yu*zu. (xu,yu,zu – кількість вузлів по кожній координаті);

Структура алгоритма МНК апроксимації 4D сплайнами, за допомогою якого були получені результати буде мати наступний вигляд:

1. Задати сітку вузлів сплайну

xu(i),yu(j),zu(k),i={1,2,...,r}, j={1,2,...,m}, k={1,2,...,n};

2. Задати точки спостереження та значення функції в них

x(t),y(t),z(t), F(t) t={1,2,…,N}.

2. Для кожної точки спостереження:

2.1 З’ясувати належність ділянці сплайну

x(t)  [ xu(i),xu(i+1)],

y(t)  [ yu(j),yu(j+1)],

z(t)  [ zu(k),zu(k+1)].

2.2 Обчислити елементи матриці планування

^SW_l , l={1,2,…,L}.

2.3 Формування матриць C=W’W i B=W’Z.

3. Доповнити матрицю С з умови її симетрії.

4. Обчислити С^-1.

5. Обчислити значення оцінки A=C^-1B.

Найбільш типовими багатомірними сигналами є сигнали відеозображень. Тому в якості тестових сигналів взято зразки зображень. Це дозволяє не тільки аналітично, але й візуально оцінити якість обробробки алгоритмами сигналів.

Зберігання та передача цифрових сигналів майже нероздільна з задачами стиснення. Методи стиснення можна розділити на дві основні великі групи [1,2]:

- стиснення з точним відновленням інформації;

- стиснення з певним рівнем втрат (lossy).

Стиснення в першій групі грунтується на опти­мальних способах кодування, зокрема груповому кодуванні (RLE), словниковий метод Лампела-Зіва-Велча (LZW), кодування Хафмена (CCITT). Типовими представниками є формати TIFF, GIF, PCX. При цьому досягається коефіцієнт стиснення в 1.5-4 рази.

Друга група методів з’явилася дещо пізніше і грунтується на методах фільтрації сигналів, адаптив­ній дискретизації та певних фізіологічних особли­востях сприйняття зображень людиною. Стиснення сягає 10-20 раз з прийнятною якістю. Нас цікавитиме якраз остання група. В ній можна в свою чергу виділити два основні напрями: wavelets методи, що мають прекрасне теоретичне обгрунтування; еврис­тичні методи, що практично не мають теоретичного обгрунтування, спираються на фізіологічні особли­вості людського сприйняття і фактично стали алгоритмічним стандартом (JPEG алгоритм).

Приклад обробки двовимірних даних

Рис 1. тестовий малюнок та його сплайн-моделі з різною деталізацією

Рис 2. тестовий приклад обробки двовимірних даних з шумом σ=30

Рис 3. JPEG-моделі тестового малюнка з різною деталізацією

Рис 4. Wavelet-моделі тестового малюнка з різною деталізацією

Рис 5. обробка тестового малюнка з шумом алгоритмом JPEG16

Рис 6. Wavelet-обробка тестового малюнка з шумом

Суттєвою перевагою запропонованого методу є обробка і стиснення сигналів при наявності шумів. За таких умов вейвлет та інші алгоритми суттєво втрачають в ефективності стиснення за рахунок шуму, який вищезгадані алгоритми вважають корисним сигналом, і також в якості реконструйо­ваного зображення. Такі зображення є типовими в радіолокаторах із синетезованою апертурою (SAR - synthetic aperture radar). Наявність в запропонованому алгоритмі МНК гарантує ефективність отриманих оцінок. Для дослідження алгоритмів фільтрації зображень візьмемо тестовий рисунок „afmsurf.tif” з пакету MATHLAB.

ТАБЛИЦЯ 1

Середньквадратичне відхилення нев’язки при стисненні без шуму

Sigm(42.27)	1:4	1:8	1:16	1:64	1:256
JPEG8	0.1148	0.1595	0.1770	0.3093	-
JPEG16	0.1164	0.1254	0.1683	0.2783	0.4705
Splin2d	0.0558	0.0728	0.0986	0.1916	0.3347
Wavelet db2	0.0382	0.0593	0.0863	0.1949	0.3797
JPEG8	0.0132	0.0254	0.0313	0.0957	0
JPEG16	0.0135	0.0157	0.0283	0.0775	0.2214
Splin2d	0.0031	0.0053	0.0097	0.0367	0.112
Wavelet	0.0015	0.0036	0.0075	0.038	0.1442

Для оцінки якості сигналу після обробки використо­вувалося відношення середньоквадратичного відхи­лення нев’язки до середньоквадратичного відхилення сигналу. При порівнянні методів при різних степенях стиснення помітні такі закономірності:

• JPEG алгоритм програє по якості при будь-якої степені стиснення (що не дивно адже він досить старий)

• При невеликих степенях стиснення wavlet-алгоритм виграє у досліджуваного за рахунок ієрархичної декомпозиції сигналу (до 5 ступеню) та врахування залишків

• При великих степенях стиснення найліпші показники у сплайн-алгоритма

Це пов’язано з тим що у JPEG і wavlet-алгоритма стиснення відбувається після обробки сигналу та обробка відбувається не по оптимальному критерію. Тому двовимірний сплайн-алгоритм виграє бо стиснення відбувається на етапі обробки по статистично оптимальному критерію.

ТАБЛИЦЯ 2

Cередньквадратичне відхилення нев’язки при обробці з шумом σ=30

Sigm(42.27)	1:4	1:8	1:16	1:64	1:256
JPEG16	0.3732	0.2801	0.2423	0.2911	0.5889
Splin2d	0.3561	0.2638	0.2036	0.2115	0.3496
Wavelet	0.5985	0.4936	0.3910	0.2497	0.3923

Для оцінки якості обробки зашумленого сигналу використовувалося відношення середньоквадратич­ного відхилення нев’язки обробленого сигналу і оригінала до середньоквадратичного відхилення сигналу оригінала. В основі вейвлет розкладу є інтерполяція сигналу, що не дає ефективних оцінок за наявності адитивного білого шуму. В противагу інтерполяції метод найменших квадратів за цих умов якраз і забезпечує максимальну ефективність в класі лінійних незміщених оцінок. Погіршує становище специфіка wavlet-алгоритма, що полягає у відновлені сигналу за рахунок залишків тобто шум не вирізняється від сигналу.

У якості модельних даних у трьох вимірах візьмемо параметри моделі вітру яка є стандартною поставкою у пакеті MATHLAB 6.х. Приклад „wind” є тривимірним масивом 35х41х15 швидкості вітру у великому об’ємі простору.

Характерні особливості:

- Дані є впорядкованими та природніми.

- Великий об’єм даних в одному циклі обробки

- кожен відлік пов’язаний з сусідами по трьом координатам

Рис. 7. Проекція граничних параметрів потоку

На рисунку 8 добре помітні зміни у структурі зрізу після обробки: у значній мірі виділилися області, які мають продовження по третій координаті і зникли ті, які не мають просторових зв’язків. Далі на рис 9 продемонстровано можливості фільтрації випадкової складової на прикладі тих же даних. Фільтрація застосовувалась по трьом вимірам, що дозволило получити досить ефективні результати (можна порівняти рис 8 та рис 9). Добре видно, що зрізи потоку після обробки відрізняються не суттєво.

Рис. 8. зрізи параметрів потоку до обробки (зліва) та після 1:4 (праворуч).

Рис. 9. зрізи параметрів потоку з шумом σ=5 до обробки (зліва) та після 1:4 (праворуч).