Список литературы

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. – М.ЮНИТИ, 1998. – с. 344 – 387; 595 – 618.

2. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. – Мн.: Новое знание, 2001. – с. 7 – 13

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – XIV, с. 3 – 34

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – с. 9 – 24

5. Кулинич Е.И. Эконометрия. – М.: Финансы и статистика, 2001. с. 5 - 26

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие. 2-е изд. – М.: Дело, 1998. – с. 12 – 16, 164 – 173

7. Орлов А.И. Эконометрика: Учебное пособие для вузов / А.И. Орлов – М.: Экзамен, 2002. – с. 10 – 30; 486 - 508

8. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – с. 7 – 25.

Тема 2. Базовые понятия эконометрики

1. Экономические показатели как случайные величины

2. Показатели связи, используемые в эконометрике

Основные положения

Большинство величин, с которыми имеет дело исследователь в эконометрике, являются не жестко детерминированными, а вероятностными величинами. Мы можем лишь оценить их значения, предположить с определенной вероятностью границы, в которых они могут находиться на самом деле. Это связано с объективно существующими ошибками наблюдения.

Для описания случайных величин используют две основные характеристики:

1. ожидаемое значение

2. меру разброса значений (как правило, дисперсию)

Случайная величина записывается в виде: , где μ – математическое ожидание случайной величины, а ε – чисто случайная составляющая (остаток).

Необходимо отметить, что оценкой в эконометрике называют как формулу, по которой происходит процесс оценки, так и само значение, полученное по этой формуле.

Все статистические показатели: показатели центральной тенденции, показатели вариации, показатели связи, а также параметры регрессионных уравнений имеют как теоретические, существующие «на самом деле» значения, так и выборочные значения, определяемые на основе ограниченного массива данных и являющихся по сути, оценками теоретических величин:

Обычно теоретические значения обозначаются греческими буквами, а их оценки, полученные в результате эмпирического анализа – соответствующими латинскими.

Для проведения оценки случайных величин используются специальные методы: методы выборочного наблюдения и интерпретации его результатов, метод статистической проверки гипотез.

Существует два типа оценок – точечные и интервальные.

Точечная оценка представляет собой конкретное число, которое используется в качестве характеристики случайной величины. Она не дает точного представления о распределении показателя, однако определяет их наиболее вероятные значения. Основные формулы точечной оценки представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1

Основные формулы точечной оценки

№ п/п	Характеристика случайной величины	Обозначение	Формула оценивания
1.	Ожидаемое значение независимой переменной	μ	(2.1)
2.	Ожидаемое значение зависимой переменной	y	(2.2)
3.	Дисперсия переменной	σ2	(2.3)
4.	Случайная ошибка	ε	(2.4)
5.	Параметр регрессионной модели	α	* (2.5)

* – формула оценивания параметра регрессионной модели приведена для случая линейной регрессии

При оценке качества точечных оценок анализируются четыре основных свойства оценок:

1. Несмещенность;

2. Эффективность;

3. Состоятельность;

4. Достаточность.

Точечное значение параметра генеральной совокупности называется несмещенным, если математическое ожидание значения оценки равно истинному значению параметра, другими словами, если оценки располагаются симметрично относительно истинного значения характеристики генеральной совокупности (рис. 2.1).

Математически это свойство записывается следующим образом: .

Оценка называется эффективной, если она максимально точно описывает истинное значение, то есть мера разброса точечных оценок, получаемых в различных наблюдениях, минимальна (рис. 2.2)

Рис. 2.1 Несмещенность статистической оценки

Рис. 2.2 Эффективность статистической оценки

Рис. 2.3 Состоятельность статистической оценки

Часто перед исследователем возникает проблема выбора между эффективной и несмещенной оценками. Выбор в пользу несмещенной оценки делается в том случае, если возможные ошибки не сильно беспокоят исследователя при условии их взаимной компенсации. Если же большие ошибки недопустимы, то выбор будет сделан в пользу эффективной, но смещенной оценки.

Оценка является состоятельной, если по мере увеличения числа единиц в анализируемой выборке ее значение стремится к истинному значению показателя (рис. 2.3).

Под достаточностью понимают такое свойство точечной оценки, согласно которому для ее проведения используется максимум информации.

Например, выборочная средняя является наилучшей оценкой генеральной средней, так как соответствует всем четырем свойствам.

Интервальная оценка представляет собой интервал, в котором с известной вероятностью находится истинное значение исследуемого признака. Такой интервал называется доверительным, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью. В практическом статистическом анализе большую ценность представляет именно интервальная оценка. Наряду с доверительной вероятностью (p) используют термин уровень значимости (α=1-p).

Рассмотрим общие принципы проведения интервальной оценки. Она проводится в виде определения доверительных интервалов – интервалов, в которых с известной вероятностью находится изучаемая переменная. Величина интервала прямо пропорциональна дисперсии рассматриваемой случайной величины и обратно зависима от требуемого уровня значимости. Обычно выбираются уровни значимости 0,1 (10%-й уровень значимости); 0,05 (5%-й уровень значимости); 0,01 (1%-й уровень значимости).

При построении доверительных интервалов для средней величины предполагается, в соответствии с центральной предельной теоремой, что выборочные средние распределяются по нормальному закону распределения с ожидаемым значением, равным генеральной средней. Исходя из этого, доверительные интервалы определяются на основе площади под кривой нормального распределения следующим образом:

, (2.6)

где u_α/2 – значения, определяемые из таблицы площади под кривой нормального распределения; σ – генеральное среднеквадратическое отклонение; n – число единиц в выборке.

Интервальная оценка используется при анализе коэффициентов регрессии, значений зависимой переменной. Формулы для интервальной оценки представлены в соответствующих темах.

Выделяют следующие основные показатели связи:

1. Ковариация – абсолютный показатель связи двух показателей. Характеризует силу и направление линейной связи двух показателей. Различают теоретическую и выборочную ковариацию.

Теоретическая ковариация ( ) – это математическое ожидание произведения отклонений двух случайных величин от их средних значений.

Выборочная ковариация рассчитывается по формуле:

(2.7)

Свойства ковариации:

1. cov(x,y) = cov(y,x)

2. cov(x,x) = s_x²

3. если y = v + w, то cov(x,y) = cov(x,v) + cov(x,w)

4. если y = a*z, то cov(x,y) = a*cov(x,z)

5. если a = const, то cov(x,a) = 0

Существует альтернативная формула расчета ковариации:

(2.8)

Главным недостатком ковариации как показатели связи является то, что его значение зависит от единиц измерения исходных данных и не имеет критических значений, что затрудняет как сравнение различных совокупностей на предмет силы связи, так и делает невозможным установления критических значений ковариации.

Этот недостаток преодолевает следующий показатель связи – коэффициент корреляции. Он является относительным показателем связи и также характеризует силу и направление линейной связи двух признаков, изменяется в пределах от –1 до 1, чем ближе по модулю к единице, тем теснее связь между показателями.

Выделяют теоретический и выборочный коэффициент корреляции. Теоретический коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

(2.9)

где σ_x, σ_y – теоретическое среднеквадратическое отклонение x и y соответственно.

Для расчета выборочного коэффициента корреляции используют формулу:

, (2.10)

где s_x и s_y – выборочное среднеквадратическое отклонение x и y соответственно.

Вывод о наличии статистически значимой связи можно сделать, оценив значимость коэффициента корреляции. Это можно сделать при помощи t-критерия Стьюдента. Для этого проверяется гипотеза о равенстве этого коэффициента 0.

или (2.11)

, (2.12)

где n – число единиц в выборке

Примечание: формула 2.11 применяется при небольших выборках (не более 100 единиц), а формула 2.12 – при больших выборках (более 100 единиц)

Расчетное значение t_расч сравнивается с критическим значением (приложение 2) при n-2 степенях свободы и требуемом уровне значимости (0,05 или 0,01). Если расчетное значение оказывается больше критического, то делается вывод о том, что коэффициент корреляции значимо отличается от 0 и связь между анализируемыми признаками статистически значима.

Если коэффициент корреляции статистически значим, можно осуществить его интервальную оценку с использованием z-распределения Фишера. Расчетное значение z-статистики определяется по формуле:

(2.13)

Доверительный интервал для определится следующим образом:

(2.14)

где Z_α/2 – значения нормального распределения для уровня значимости α.

Для того, чтобы определить доверительный интервал для самого коэффициента корреляции, необходимо выполнить обратное преобразование полученных границ:

(2.15)

где вместо z требуется подставить границы доверительного интервала для , а r покажет значение соответствующей границы для коэффициента корреляции.

В том случае, если оценивается корреляция явления, зависящего более чем от одной независимой переменной, то необходимо определиться с тем, какую связь мы хотим оценить. Если оценивается связь между двумя переменными: результативной и одной объясняющей, то используют коэффициент частной корреляции.

В том случае, если всего используется три переменные, то коэффициент частной корреляции x и y при условии постоянства z рассчитывается по формуле:

(2.16)

Если же необходимо установить связь между всеми переменными, то рассчитывается коэффициент полной корреляции:

(2.17)

Для решения конкретных задач в эконометрике используются также и другие показатели связи: коэффициент автокорреляции, коэффициент детерминации и др. Они будут рассмотрены в последующих темах.