3. Критерий Дарбина-Уотсона (dw)

Суть метода в анализе статистики Дарбина-Уотсона, рассчитываемой по формуле:

(6.18)

Доказано, что статистика Дарбина-Уотсона связана с коэффициентом корреляции между соседними отклонениями по формуле:

(6.19)

Следовательно, статистика DW принимает значения в интервале от 0 до 4. при этом можно сделать следующие выводы относительно значений DW (табл. 6.1)

Таблица 6.1

Значения, принимаемые критерием Дарбина-Уотсона и их интерпретация

№п/п	Значения DW	Значения	Вывод о наличии автокорреляции
1	близко к 0	близко к 1	сильная положительная автокорреляция
2	близко к 2	близко к 0	автокорреляция отсутствует
3	близко к 4	близко к –1	сильная отрицательная автокорреляция

Однако приведенной выше интерпретации статистики DW, как правило, недостаточно, чтобы сделать вывод о наличии либо отсутствии автокорреляции. Необходимо указать конкретные диапазоны DW, для которых характерно наличие или отсутствие автокорреляции. При грубой оценке предполагают, что автокорреляция не имеет место, когда 1,5 < DW < 2,5. Для точного определения наличия автокорреляции используются критические значения d_low и d_high из таблицы (приложение 4). Тогда интерпретация статистики DW примет вид:

Таблица 6.2

Интерпретация значений критерия Дарбина-Уотсона с использованием критических значений

№п/п	Значения DW	Вывод о наличии автокорреляции
1	[0;dlow)	существует положительная автокорреляция
2	[dlow;dhigh)	нельзя сделать вывод о наличии автокорреляции
3	[dhigh;4 – dhigh)	автокорреляция отсутствует
4	[4 – dhigh;4 – dlow)	нельзя сделать вывод о наличии автокорреляции
5	[4 – dlow;4]	существует отрицательная автокорреляция

Однако наряду с очевидными достоинствами критерия Дарбина-Уотсона существуют и ограничения его применения на практике:

1. Критерий может применяться только для моделей, содержащих свободный член

2. Временной ряд, по которому построена модель, должен быть полным (то есть внутри ряда должны быть все данные).

3. Критерий Дарбина-Уотсона нельзя применять для авторегрессионных моделей AR(p).

4. Критерий позволяет выявить автокорреляцию только первого порядка

Рассмотрим методы устранения автокорреляции. Выделяют два основных метода: при помощи первого устраняется сама автокорреляция, а при помощи второго возможно получение эффективных оценок коэффициентов и более точных значений их дисперсий. Рассмотрим каждый из методов:

1. Изменение спецификации модели. Если автокорреляция является следствием неверной спецификации модели, то ее можно устранить путем изменения спецификации. Обычно в модель может быть добавлена периодическая составляющая (в виде тригонометрической функции – рис. 6.9) или учтен нелинейный характер изменений путем замены функции на логарифмическую или показательную в зависимости от характера отклонений (рис. 6.10).

Рис. 6.9 Устранение отрицательной автокорреляции путем изменения спецификации модели с линейной функции на комбинированную (тригонометрическую-линейную)

Рис. 6.10 Устранение автокорреляции изменением спецификации модели с линейной на логарифмическую

2. Авторегрессионное преобразование. Для выполнения преобразования воспользуемся алгоритмом:

1. Из исходной модели , в которой наблюдается автокорреляция, строим модель регрессионной зависимости между случайными остатками , которая будет удовлетворять предпосылкам МНК.

2. Строим два уравнения для периодов t и t-1:

(6.20)

(6.21)

3. Вычитаем из первого уравнения второе, умноженное на ρ:

4. Заменим: , тогда уравнение примет вид:

(6.22)

К уравнению модели (6.22) можно применить МНК, так как для него случайные остатки удовлетворяют условиям Гаусса-Маркова. В результате применения МНК получаем оценки параметров a₀* и a₁.

5. Зная параметр модели (6.17) a₀*, определяем параметр исходной модели (6.20)

Авторегрессионное преобразование уменьшает число степеней свободы на 1, что при небольших объемах выборок приводит к снижению эффективности оценок. Это проблема решается при помощи поправки Прайса-Винстена:

(6.23)

(6.24)

Авторегрессионное преобразование применимо и в случае множественной регрессии.

Основная проблема, связанная с использованием авторегрессионного преобразования – оценка параметра ρ. Для этого используют следующие методы:

1. Статистика Дарбина-Уотсона. В этом случае предполагают, что при больших выборках . Тогда, используя соотношение , получим выражение для оценки ρ:

(6.25)

2. Метод Кохрана-Оркатта. Этот метод относится к числу итеративных и основан на применении следующего алгоритма:

1) По МНК определяются параметры в регрессии:

(6.26)

и рассчитываются случайные ошибки

2) При помощи МНК оценивается параметр в уравнении регрессии:

(6.27)

3) Полученное значение подставляется в уравнение, полученное при помощи авторегрессионного преобразования:

(6.28)

для которого по МНК оцениваются параметры α₀ и α₁.

4) Рассчитанные на предыдущем этапе оценки параметров a₀ и a₁ подставляются в уравнение (6.19), затем этапы 2 и 3 алгоритма повторяются до тех пор, пока разница между параметрами , полученными на последовательных этапах, не будет меньше заранее заданного числа (0,01; 0,001 и т.п.).

3. Метод Хилдрета-Лу.

С заданным шагом (0,01; 0,001 и т.п.) осуществляется перебор значений ρ из диапазона [–1;1]. Для каждой модели оценивается качество модели (6.17). Выбирается модель, обеспечивающая наилучшее качество.

В

опросы: особенности определения трендовой составляющей, методы анализа циклической составляющей в динамических моделях; учет в динамических моделях влияния различных факторов и прогнозирование при помощи регрессионных динамических моделей – на самостоятельное изучение