1.3.2.4 Дискретное преобразование Лапласа (d-преобразование)

Дискретное преобразование Лапласа позволяет, как и при исследовании непрерывных САУ, ввести понятие о ПФ и ЧХ импульсных систем.

Дискретным преобразованием Лапласа называют преобразование Лапласа решетчатой функции f [nT] следующего вида

. (1.2)

По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа решетчатую функцию

f [nT] называют оригиналом, а её D-преобразование – изображением. Теоремы и правила дискретного преобразования Лапласа, устанавливающие соответствие между операциями в области оригиналов и изображений, аналогичны теоремам и правилам непрерывного преобразования Лапласа. Если в качестве аргумента непрерывной функции используют «относительное» время , прямое преобразование осуществляют по формуле

, (1.3)

q=sT-комплексное число, называемое параметром дискретного преобразования Лапласа. Выражение прямого преобразования (1.3) позволяет по заданной решетчатой функции

f [n] найти соответствующее ей изображение . Соотношение, позволяющее в общем виде определить по изображению оригинал, условно записывают в виде

.

Обратное преобразование Лапласа производят по формулам, аналогичным формулам обращения обычного преобразования Лапласа. Изображения типовых дискретных функций и соответствующие им оригиналы приведены в таблицах, составленных для нормированных функций.

5. Z-преобразование

Выражение (1.2), с помощью которого производят D-преобразование не является рациональной функцией от s, т.к. переменная s входит в него в виде . В связи с этим исключена возможность анализа импульсных САУ на комплексной s-плоскости. D-преобразование является рациональной функцией от или от , где q=sT- относительное время.

Z-преобразование выполняют заменой на z в выражении (1.3) прямого D-преобразования. В результате получают рациональную функцию новой переменной z

,

где z=е^Тs.

D- и Z-преобразования эквивалентны. Выбор вида преобразования определяется удобством его применения при решении конкретной задачи.

Z-преобразование решетчатой функции f[n] обозначают символом

. (1.4)

Таблица 1- Z-преобразования типовых функций времени

Оригинал f(t)	Изображение	Оригинал	Изображение	Изображение
1(t)
δ(t)	1			1
t

Z-преобразование аналогично s-преобразованию (преобразованию Лапласа). В частности, Z-преобразование сводит решение разностного уравнения (1.1) к алгебраическим операциям. Преобразование Лапласа превращает непрерывные функции времени f(t) в функции комплексного переменного s, а Z-преобразование функции дискретного времени f [nT] (последовательность чисел) - в функции комплексного переменного z=e^Ts. Наконец, Z-преобразование позволяет ввести понятие Z-передаточной функции, сходной с обычной ПФ непрерывной САУ.

Однако, Z-преобразование содержит информацию о соответствующей непрерывной функции времени только в дискретные моменты времени. Поэтому оно определяет не саму непрерывную функцию, а ряд её последовательных дискретных значений. Принято считать, что Z-преобразование подобно включению на выход системы фиктивного ИЭ (ФИЭ), которого в реальной САУ не существует (рис.1.12).

Рисунок 1.12