2.2 Методы линеаризации нелинейных моделей

Методы линеаризации, основанные на разложении функции в ряд Тейлора, применяют в тех случаях, когда эта функция хотя бы один раз дифференцируема или аппроксимируется касательной с малой погрешностью в некоторой окрестности рабочей точки. Такие характеристики называют слабо нелинейными. Существует целый класс нелинейностей, для которых оба названных выше условия не выполняются. Обычно такие характеристики называют существенно нелинейными. К ним относят: ступенчатые, кусочно-линейные, степенные и другие. Математическое описание таких нелинейностей выполняют с помощью эквивалентных ПФ, зависящих от коэффициентов линеаризации. Если на вход НЭ поступает гармонический сигнал, то метод линеаризации называют гармоническим ( см.2.4.3 ). Если действует случайный входной сигнал, то метод линеаризации называют статистическим.

2.3 Анализ поведения системы управления на фазовой плоскости ( метод фазовых траекторий )

2.3.1 Основные понятия

Метод основан на понятии о фазовом пространстве. Фазовым пространством называют многомерное пространство, координатами которого являются какая-либо величина, скорость её изменения и ускорения соответствующих порядков (рис. 2.6). При исследовании САУ названной величиной является выходная величина системы. Если САУ описывается дифференциальным уравнением n-го порядка, то её состояние связывают с положением (фазой) некоторой точки М, которую называют изображающей точкой, в n-мерном пространстве. При изменении состояния САУ меняется положение изображающей точки в фазовом пространстве. Траекторию этого перемещения называют фазовой траекторией. При этом фазовая траектория не дает представления о протекании переходного процесса во времени, а служит лишь качественной характеристикой этого процесса. Для САУ второго порядка фазовое пространство двумерное, т.е.

Рисунок 2.6 представляет собой фазовую плоскость. В этом

случае абсцисса –выходная величина , ордината –скорость изменения последней или ошибка регулирования и скорость ее изменения .

Начальное положение изображающей точки определяется начальными условиями (НУ) свободного движения САУ. При равновесии системы все производные рассматриваемой переменной равны нулю; соответствующие этому состоянию точки фазового пространства называют особыми. Совокупность фазовых траекторий для всех возможных начальных отклонений вместе с особыми траекториями и точками называют фазовым портретом системы. Хотя метод фазовой плоскости разработан для исследования нелинейных САУ, возможно построение фазовых траекторий линейных звеньев и систем. На рис.2.7-2.2 показаны фазовые портреты линейных К-звеньев при различных значениях коэффициента демпфирования ξ . Соответственно диферинциальное уравнение имеет вид

В зависимости от вида фазовой траектории особая точка плоскости может быть: фокусом (рис.2.7 и рис.2.11), узлом ( рис.2.8 и 2.2), центром (рис.2.9) и седлом (рис.2.10). Центр является точкой безразличного равновесия. Фокус и узел могут характеризовать как устойчивые (рис.2.7 и рис.2.8), так и неустойчивые процессы (рис.2.11и рис.2.12). Фазовые траектории устойчивых звеньев и систем стягиваются к началу координатам, неустойчивых – расходятся в бесконечность. Незатухающим колебаниям соответствует замкнутая траектория ( рис.2.9 ). Такие траектории называют предельными циклами. Они бывают устойчивыми и неустойчивыми. Устойчивый предельный цикл 1 ( рис.2.25 ) соответствует автоколебаниям. Он

выделяется тем, что соседние фазовые траектории 2 и 3 (рис.2.25) с обеих сторон от устойчивого предельного цикла наматываются на него.

Для фазового портрета нелинейного звена с разрывной статической характеристикой характерно наличие линий переключения, которыми фазовая плоскость разделяется на ряд областей с различными фазовыми траекториями. Нелинейными САУ такого типа являются релейные системы и САУ с НЭ типа гистерезиса, зоны нечувствительности, зазора и сухого трения. Характеристики таких НЭ могут быть разбиты на отдельные участки, каждый из которых описывается собственным линейным уравнением. Также можно построить фазовые траектории отдельно для каждого участка, а затем соединить

Таблица 2

Фазовый портрет	Переходная характеристика	Диаграмма полюсов
Рисунок 2.7	Рисунок 2.13	Рисунок 2.19
Рисунок 2.8	Рисунок 2.14	Р исунок 2.20
Р исунок 2.9	Рисунок 2.1 6	Р исунок 2.21
Рисунок 2.10	Рисунок 2.17	Р исунок 2.22
Рисунок 2.11	Рисунок 2.17	Р исунок 2.23
Р исунок 2.12	Рисунок 2.18	Рисунок 2.24

( припасовать ) их друг с другом в местах стыкования ( в линиях переключения режимов). На рис.2.26 показан фазовый портрет релейной САУ и НЭ, имеющии релейную характеристику с гистерезисом ( рис.1.22 ). Для простоты портрет изображен состоящим только из двух фазовых траекторий 1 и 3, а также особой траектории 2. Отличие первых двух друг от друга обусловлены различными НУ, см. точки М₁ и М₃. Особая траектория 2 представляет собой устойчивый предельный цикл. В рассматриваемом

Рисунок 2.25 примере линии переключения режимов являются

вертикальными прямыми линиями 5 и 6, уравнения

которых

Рисунок 2.26