2.5 Первый и второй методы Ляпунова
2.5.1 Первый метод Ляпунова
Первый метод применим только для исследования устойчивости в малом линеаризуемых систем (см.3.1). Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устойчивости в малом нелинейной системе по устойчивости линейной системы, полученной при линеаризации исходной нелинейной системы. Далее, он доказал также, что в критических случаях, когда линеаризованная система находится на границе устойчивости, об устойчивости исходной нелинейной системы ничего нельзя сказать: она может устойчива или неустойчива в зависимости от конкретного вида нелинейности.
Аналитически определение устойчивости
по Ляпунову формулируется следующим
образом: невозмущённое движение
будет устойчиво, если при любом наперёд
заданном положительном числе А, как
бы мало оно ни было, можно выбрать другое
положительное число
так,
что для всех возмущений, удовлетворяющих
условиям
,
возмущённое движение
,начиная с некоторого
,будет удовлетворять неравенству
(см.
рис. ).
2.5.2 Второй метод Ляпунова
Второй метод Ляпунова, называемый прямым методом, является наиболее общим методом исследования устойчивости любых нелинейных систем. Он даёт достаточные условия устойчивости, т.е. определяет часть области устойчивости исследуемой системы управления.
Согласно прямому методу Ляпунова
в рассмотрение вводится специальная
функция V
,
заданная в фазовом пространстве и
обладающая следующими свойствами:
1) эта функция непрерывна вместе со всеми своими частными производными первого порядка в некоторой открытой области, содержащей начало координат,
2) в начале координат функция V принимает нулевое значение,
3) функция является знакоопределенной.
Ляпуновым доказана справедливость
следующего утверждения: если
дифференциальные уравнения ( ) движения
таковы, что можно найти знакоопределённую
функцию V
,
производная которой
в силу этих уравнений была бы или
знакопостоянной функцией противоположного
знака с V
,
или тождественно равной нулю, то
равновесие системы в начале координат
устойчиво.
Если производная есть знакоопределённая функция противоположного знака с V , то равновесие системы в начале координат асимптотически устойчиво.
Большие трудности представляет подбор V-функций (функций Ляпунова) при практическом использовании прямого метода Ляпунова. К сожалению, нет однозначных способов построения этих функций и приходится в значительной степени полагаться на интуицию. Это обстоятельство существенно ограничивает практическое применение прямого метода Ляпунова.
2.5.3 Определение функций Ляпунова методом Лурье-Постникова
Для одноконтурной САУ с единичной
ОС (рис. ) и с НЭ, статическая характеристика
(рис. ) которого удовлетворяет условиям
и z(0)=0, V-функции
могут быть взяты в форме, предложенной
Лурье А.И. и Постниковым В.Н.,
V
=L
+
,
где L
-квадратичная
форма фазовых координат
следующего вида
L
.
Рисунок 2. В свою очередь,
и
-коэффициенты; при этом
.
Рисунок.2.
С помощью V-функций такого типа удаётся решить многие практические задачи, связанные с анализом устойчивости нелинейных САУ.
Пример. Оценить устойчивость равновесия САУ (рис.2. ), передаточная функция линейной части которой
.
Уравнения движения САУ могут быть записаны в виде
При
движение САУ можно описать одним
уравнением первого порядка
Согласно с методом Лурье-Постникова функцию Ляпунова записывают в виде
.
Соответственно её производная
При
производная
отрицательна во всём фазовом пространстве,
если
.
Таким образом, достаточным условием
асимптотической устойчивости в целом
САУ первого порядка с инерционным звеном
является положительность коэффициентов
усиления линейной части САУ. При этом
статическая характеристика НЭ может
иметь произвольный вид и лишь не должна
выходить за пределы первого и третьего
квадратов. Она может иметь также разрывы,
но должна быть однозначной ( такие САУ
называют абсолютно устойчивыми).