2.6 Частотный метод исследования абсолютной устойчивости

Абсолютной устойчивостью называют асимптотическую устойчивость равновесия САУ “в целом” для нелинейностей определённого класса. Наиболее часто рассматривают нелинейные характеристики, заключённые внутри угла, образованного прямыми z=k и z=r (r k) в первом и третьем квадрантах (рис.2. ). Другими словами, такие характеристики заключены в секторе .

Критерий абсолютной устойчивости равновесия САУ сформулирован В.И.Поповым следующим образом: если

Рисунок 2. замкнутая САУ (рис.2. ) содержит устойчивую линейную

часть с передаточной функцией W(s) и нелинейную часть

со статической характеристикой z( ), лежащей в угле

0 (сектор на рис.2. ), то достаточным

условием устойчивости является выполнение неравенства

где q- произвольное вещественное число;

W(jω)- АФЧХ линейной части;

Критерий абсолютной устойчивости имеет удобную

для практики геометрическую интерпретацию. Для этого

Рисунок 2. вводят в расчет модифицированную ЧХ линейной части

г де . Следовательно годограф имеет вид, аналогичный АФЧХ линейной части , и отличается от неё только масштабом мнимой оси (рис.2. ).Поскольку выражение можно записать в виде

то с подстановкой оно преобразуется к виду

Выражение

представляет собой уравнение прямой на комплексной

Рисунок 2. плоскости. Эта прямая проходит через точку и

имеет наклон .Т.о., критерию абсолютной устойчивости можно дать следующую формулировку: САУ абсолютно устойчива, если при устойчивой линейной части через точку С(1/k;j0) можно провести прямую так, чтобы годограф лежал справа от неё. Прямую, удовлетворяющую этому условию, называют прямой Попова.

Критерий абсолютной устойчивости Попова и прямой метод Ляпунова связаны между собой. Показано, в частности, что если критерий Попова выполняется, то существует V-функция Ляпунова в форме Лурье-Постникова, имеющая во всём фазовом пространстве знакопеременную производную со знаком, обратным знаку V-функции. Это даёт основания для предпочтения критерия Попова при практическом анализе устойчивости нелинейных САУ с одной нелинейностью, поскольку он имеет удобную частотную форму.

На рис.2. , 2. показаны случаи выполнения теоремы Попова. В этих случаях нелинейная САУ устойчива при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием . На рис.2. и 2. показаны случаи, когда требования теоремы не выполняются, т.е. нелинейная САУ не обладает абсолютной устойчивостью положения равновесия.