2.7 Исследование периодических режимов методом гармонического баланса
2.7.1 Сущность метода
Амплитуда
и частота
и сам факт возникновения автоколебаний
существенно зависят от параметров САУ.
Зависимость
и
от параметров систем, порядок которых
выше второго, целесообразно отыскивать
методом гармонической линеаризации
. Названный метод является приближенным,
но для практических целей обладает
достаточной точностью.
Сущность метода состоит в отыскании периодического решения на входе НЭ
(рис. 2.), разложении сигнала на выходе НЭ в ряд Фурье и его замены первой гармоникой.
Рисунок 2.
Такая замена справедлива, если САУ является фильтром низких частот. При этом АЧХ системы подчиняется неравенству:
,
(
)
где n=2,3…,∞, или
В
общем виде АЧХ показана на рис. 2.
Рисунок 2.
Основой метода является предположение о том, что автоколебания приближенно можно искать в синусоидальной (гармонической) форме
. ( )
Принципиально, автоколебания всегда несинусоидальны, хотя практически могут быть близки к синусоиде.
Если САР является релейной, то
-
входная величина реле, и
-
выходная. Статическую релейную
характеристику в общем случае обозначают
как нелинейную функцию
.
Если эта характеристика является
идеальной (рис.2.4), то синусоидальное
изменение входной величины
определяет изменение выходной величины
по закону прямоугольного синуса (меандр,
рис. 2.) .
Рисунок 2.40
Прямоугольный синус может быть разложен в ряд Фурье, то есть представлен в виде суммы гармонических составляющих (гармоник)
(2. )
где амплитуды гармоник
,
,
и т.д. и
- угловая частота. Т.о. первая гармоника
выходной величины в случае однозначной
релейной характеристики (идеальной)
имеет вид
,
(2. )
где амплитуда
является коэффициентом ряда Фурье и
рассчитывается по формуле
. (2. )
Соответственно , в случае петлевой релейной характеристики (рис.1.22) первая гармоника имеет вид
,
(2. )
где А1 рассчитывают по формуле (2. ), а
.
(2. )
С учетом (2. ) первую гармонику можно представить в виде
,
(2. )
а также
.
(2. )
Следовательно, идеальное релейное звено
можно заменить идеальным звеном со
статической характеристикой
(2. )
и коэффициентом усиления
.
(2. )
В случае петлевой характеристики
, (7.19)
где коэффициент усиления
и
.
Таким образом, ограничиваясь
рассмотрением первой гармоники выходной
величины релейного звена, вызванной
синусоидальными колебаниями входной
величины, приходят к замене нелинейного
уравнения релейного звена
линейным уравнением ( ) или ( ).
Такую линеаризацию называют гармонической
линеаризацией нелинейных характеристик.
Величину q называют
гармоническим коэффициентом усиления
НЭ.