1.3.2 Основной математический аппарат теории дискретных сау

1.3.2.1 Структурная схема сау с аим

Структурную схему САУ (рис.1.10) получают в результате следующих преобразований функциональной схемы (рис.1.5):

1) заменой реального ИЭ АИ-модулятором (рис.1.8);

2 ) заменой действующих в САУ реальных непрерывных сигналов фиктивными дискретными сигналами.

Рисунок 1.10

САУ с АИМ содержит кроме ИЭ и ФИ с передаточной функцией непрерывную часть (НЧ) с передаточной функцией (рис.1.10). Последовательность импульсов с выхода АИ-модулятора у_ф(t) воздействует на непрерывную часть. Соединение ФИ и НЧ называют приведённой непрерывной частью (ПЧ). Передаточная функция ПЧ .

1.3.2.2 Понятие о решетчатой функции

Упрощения математического описания импульсной САУ достигают заменой дифференциального уравнения системы управления разностным уравнением, которое соответственно решают с использованием дискретного преобразования Лапласа. Возможность такой замены основана на том, что выходной сигнал ИЭ у_и(t) равен значениям входного сигнала х(t) в дискретные моменты времени в начале каждого периода повторения импульсов Т. Поэтому в работе ИЭ ничего не изменится, если заменить непрерывную функцию х(t) на его входе дискретной функцией, значения которой в начале каждого периода, т.е. в моменты t=nT , где n=1, 2,3…, совпадают со значениями непрерывной функции, а в остальное время равны нулю. Такую дискретную функцию называют решетчатой функцией и обозначают (рис.1.11).

Непрерывная функция х(t) является огибающей решетчатой функции . Рассматривают дискретные функции в относительном времени t/T,т.е. измеряют время количеством периодов Т. В этом случае относительный период повторения импульсов Т_и=1, а решетчатая функция обозначается . Такую запись называют нормированной формой.

Рисунок 1.11

1.3.2.3 Понятие о разностных уравнениях

Дискретные САУ описывают разностными уравнениями так же, как непрерывные системы дифференциальными уравнениями (ОДУ). Названные уравнения являются аналогами. Если скорость изменения непрерывной функции f (t) выражается её первой производной , то скорость изменения решетчатой функции f характеризуют её первой разностью , являющейся аналогом производной непрерывной

функции (рис.1.11).Разность второго порядка ,или вторая разность, . Разностью k-го порядка определяют по выражению . Соотношение между решетчатой функцией f и ее разностями различных порядков называют уравнением в конечных разностях или разностным уравнением. Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами представляют в виде

, (1.1)

где x - известная дискретная функция;

у - искомая дискретная функция, которую находят решением разностного

уравнения.

Разностное уравнение k-го порядка аналогично дифференциальному уравнению k-го порядка. Последнее можно рассматривать как предельное выражение для разностного уравнения, когда период дискретности Т 0.

Методы решения разностных уравнений аналогичны методам решения ОДУ. Подобно тому, как преобразование Лапласа дифференциальных уравнений дает удобную инженерную методику анализа непрерывных систем, для дискретных систем разработаны специальные преобразования. Из них наибольшее распространение получили:

1) дискретное преобразование Лапласа;

2) z-преобразование.