6. Обчислювальна геометрія, комп’ютерна графіка та комп’ютерна алгебра

7. Означення та властивості діаграми Вороного. Побудова діаграми Вороного.

Побудова (за час ):

1. Розділити множину точок на дві приблизно рівні множини та горизонтальною прямою.

2. Рекурсивно побудувати діаграму Вороного для та .

3. Побудувати ламану , яка розділяє та .

   1. Побудувати опорні відрізки до опуклих оболонок та .

   2. Проводити серединний перпендикуляр до одного з опорних відрізків до перетину з якоюсь прямою з вже побудованих діаграм Вороного.

   3. Дві прямі, що перетнулись, розділяють три точки. Відкидаємо спільну точку з розгляду, і продовжуємо будувати серединні перпендикуляри для двох точок, що залишилися.

   4. Так будувати доти, поки ламана, не співпаде з серединним перпендикуляром до якогось іншого опорного відрізка.

4. Видалити усі ребра з діаграми верхньої множини, які лежать нижче за ламану. Аналогічно з точністю до навпаки для нижньої множини.

6. Обчислювальна геометрія, комп’ютерна графіка та комп’ютерна алгебра

8. Перетин та об’єднання опуклих многокутників. Перетин відрізків

6. Обчислювальна геометрія, комп’ютерна графіка та комп’ютерна алгебра

9. Поняття замкненого півкільця. Приклади

Замкнене півкільце – це , в якій виконуються наступні властивості:

• за операцією це ідемпотентний комутативний моноїд з нейтральним елементом;

• за операцією це просто моноїд з нейтральним елементом, в якому до того ж для довільного елемента (окрім властивості моноїда );

• дистрибутивне відносно ;

• визначеність нескінченних сум ( визначена (скінченна і єдина) сума );

• для нескінченних сум діють асоціативність та комутативність;

• дистрибутивне відносно нескінченних сум ( ).

	A			0	1
Алгебра Буля
Алгебра відстаней
«Майже» регулярна алгебра мов	– множина всіх скінченних слів з алфавіту		(конкатенація)
Алгебра відношень			(композиція відношень)	(порожнє відношення)	(діагональне відношення)
Алгебра мариць з нулів та одиниць	множина квадратних матриць розмірами з коефіцієнтами	(покомпонентне додавання)	(матричне множення)

6. Обчислювальна геометрія, комп’ютерна графіка та комп’ютерна алгебра

10. Лінійні коди. Алгебраїчна характеризація лінійних кодів. Породжуюча та перевірочна матриці.

6. Обчислювальна геометрія, комп’ютерна графіка та комп’ютерна алгебра

10. Простий многочлен над скінченним полем та поле остач від ділення на цей многочлен

Допоміжні означення для означення поля:

Групоїд — це алгебра типу <2> без тотожностей.

Група (вільна) — це моноїд, в якому .

Кільце — це алгебра (A; +,*), в якій: (A; +) — комутативна група, (A; *) — групоїд, * дистрибутивна відносно +. Кільце називається комутативним, якщо * комутативна; кільцем з одиницею, якщо за * є одиниця; асоціативним, якщо (A; *) — півгрупа. Одиниця за додаванням позначається 0, за множенням (якщо є) — 1.

Тіло — це кільце (A; +,*), в якому (A\{0}; *) — група.

Поле — це тіло з комутативною операцією *, тобто це кільце, в якому (A\{0}; *) — комутативна група.

Означення. Многочлен a(x) над полем F — незвідний, якщо ділиться тільки на f*a(x) та f, де f — ненульовий елемент поля F. Простий многочлен над полем F — це зведений незвідний над F. Елемент f поля F — корінь многочлена a(x), якщо a(f)=0.

Нехай F_q — скінченне поле з q елементів. Многочлен a(x) з F_q[x] визначає множину остач F_q[x]/a(x) від ділення на нього. Якщо deg a(x) = m, то кількість остач дорівнює q^m.

Означимо додавання елементів F_q[x]/a(x) як b(x)+c(x) = R_a(x)(b(x)+c(x)). Оскільки F_q є полем, аналогічно можна означити віднімання та множення: b(x)–c(x)=R_a(x)(b(x)–c(x)), b(x)*c(x)=R_a(x)(b(x)*c(x)). Неважко переконатися, що F_q[x]/a(x) є кільцем, у якому 0 — многочлен 0, 1 — многочлен 1.

Твердження. F_q[x]/a(x) є полем тоді й тільки тоді, коли a(x) є простим над полем F_q.

Доведення. Необхідність. Припустимо супротивне: нехай F_q[x]/a(x) є полем, але a(x) — не простий над F_q. Нехай a(x)=s(x)*r(x), де deg s(x)>0, deg r(x)>0. Звідси s(x) і r(x) є елементами кільця й є дільниками нуля, а це суперечить тому, що F_q[x]/a(x) є полем.

Достатність. Нехай a(x) є простим над полем F_q. Достатньо довести, що кожен елемент кільця остач має обернений елемент за множенням. Нехай b(x) — довільний елемент кільця остач. Оскільки a(x) — простий над полем, усі остачі від ділення на нього взаємно прості з ним. Тоді за висновком з алгоритму Евкліда існують многочлени над цим полем u(x) та v(x), за яких D(a(x),b(x))=a(x)u(x)+b(x)v(x). Отже,

1 = R_a(x)(a(x)u(x)+b(x)v(x)) = R_a(x)(b(x)v(x)) = R_a(x)(b(x)R_a(x)(v(x))).

Звідси R_a(x)(v(x)) = b^–1(x).

Висновок. Простий многочлен степеня m над скінченним полем F_q визначає поле остач від ділення на нього, яке має q^m елементів.