Вероятностные распределения доходности акций компаний «м» и «а»

Спрос	Вероятность	Доходности акций
		«М», %	«А», %
Высокий	0,3	100	20
Средний	0,4	15	15
Ограниченный	0,3	(70)	10
Итого	1,0

Е

5.5. Ожидаемый

уровень доходности

сли мы умножим каждое из возможных значений некоторого показателя на вероятность того, что оно будет достигнуто, и затем сложим эти произведения, как сделано в табл. 5.2, мы получим ожидаемое среднее значение этого показателя, или просто его среднее (обозначается k). Показанные в табл. 5.2 средние доходности по акциям компаний «М» и «А» составляют по 15%, а таблица такого рода называется матрицей выигрышей.

Таблица 5.2

Расчет средней доходности акций: матрица выигрышей

Спрос	Вероятность	«М»		«А»
		Доходность акций	Итого, %	Доходность акций, %	Итого, %
Высокий	0,3	100	0,3 · 100 = 30	20	0,3 · 20 = 6
Средний	0,4	15	0,4 · 15 = 6	15	0,4 · 15 = 6
Ограниченный	0,3	(70)	0,3 · (70) = (21)	10	0,3 · 10 = 3
Итого	1,0		15		=15

Вычисление предполагаемой нормы прибыли можно также выразить с помощью формулы, которая демонстрирует те же вычисления, что и таблица матрицы выигрышей (5.1).

Ожидаемая доходность актива равна

, (5.1)

где – это один из возможных исходов (i – его номер), – вероятность этого исхода, а n – общее число возможных исходов. Таким образом, – это средневзвешенное значение доходности, при этом вес каждого отдельного ее значения , является его вероятностью. Пользуясь данными для компании «М», мы получаем ожидаемую доходность ее акций:

= 0,3

Ожидание доходности компании «А» также составляет 15%:

= 0,3

Диапазон доходности компании «М» составляет от –70 до 100% при ожидании доходности на уровне 15%. Ожидаемая прибыль компании «А» составляет также 15%, но при этом диапазон ее вероятностей значительно уже.

Необходимо учитывать, что пока предполагалось, что могут реализоваться лишь три исхода: высокий, средний и ограниченный спрос на продукцию компаний. Разумеется, в реальной жизни спрос может колебаться от глубокой депрессии до фантастического бума, и между этими граничными возможностями существует бесконечное множество промежуточных исходов. Если бы у нас хватило времени и терпения, чтобы приписать вероятность каждому отдельному уровню спроса, а также найти доходность акций для каждого уровня спроса, то у нас бы получилась таблица, аналогичная таблице 5.1, за исключением того, что в каждом ее столбце было бы гораздо больше записей. Эту таблицу можно было бы также использовать для вычисления ожиданий доходности, а вероятности различных уровней доходности изобразить на графике с помощью непрерывных распределений, аналогичных представленным на рис. 5.1.

Приводя график (рис. 5.1), мы несколько изменили наши изначальные предположения, посчитав, как и прежде, что существует практически нулевая вероятность того, что доходность акций компании «М» будет ниже -70 или выше 100% (доходность акций компании «А» будет ниже 10 или выше 20%), но теоретически возможен любой результат. Понятно, что эта гипотеза более реалистична, чем прежняя.

Рис. 5.1. Непрерывные распределения вероятности доходности акций компаний «М» и «А»

Чем более «сжатым» будет график распределения вероятности, тем ближе окажется фактическая доходность к ожидаемой и, следовательно, тем меньше вероятность, что действительная прибыль окажется значительно ниже предполагаемой. Таким образом, чем более «сжато» распределение вероятности, тем ниже риск, задаваемый акции. Поскольку у компании «А» распределение вероятности весьма сжато, ее фактическая доходность с большей вероятностью будет близка к ожидаемым 15%, чем доходность компании «М».

Измерение автономного риска: среднеквадратическое отклонение. Чтобы быть полезной для практического использования, любая мера риска должна иметь точное определение – нам необходима мера «сжатости» распределения вероятности. Одной из таких мер является среднеквадратическое (стандартное) отклонение (СКО) – обозначается Чем меньше квадратическое отклонение, тем более распределение вероятности «сжато» и соответственно тем ниже риск акций. Чтобы вычислить среднеквадратическое отклонение, мы выполняем действия, представленные в табл. 5.3.

Таблица 5.3

Вычисление среднеквадратического отклонения для компании «М»

ki – k, %	(ki – k)2	(ki – k)2P1
100 – 15 = 85	0,852 = 0,7225	0,3 · 0,7225 = 0,21675
15 – 15 = 0	0	0,4 · 0 = 0
(70) – 15 = 85	0,7225	0,3 · 0,7225 = 0,21675
		Вариация = = 0,4335

Стандартное отклонение =

1. Вычисляем среднюю доходность:

Средняя доходность P₁k₁ + P₂k₂₊ …+ P_nk_n =

Мы уже выяснили ранее, что для компании «М» k = 15%.

2. Вычисляем отклонение каждого отдельного значения доходности k_i от ее среднего значения k:

Отклонение = k_i – k.

3. Возводим в квадрат каждое отклонение и взвешиваем полученные квадратические отклонения в соответствии с их вероятностями. Итогом является вариация доходности, как это показано в столбце 3 табл. 5.3:

(5.2)

4. Наконец, извлекая из вариации квадратный корень, получаем среднеквадратическое отклонение:

(5.3)

Таким образом, среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности – это в определенном смысле средневзвешенное отклонение от ее ожидаемого значения, и оно показывает, насколько выше или ниже ожидаемой окажется вероятная фактическая доходность. Среднеквадратическое отклонение для компании «М» согласно табл. 5.3 составляет Выполняя тот же расчет, находим, что среднеквадратическое отклонение для компании «А» составляет 3,87%.

Рис. 5.2. Диапазоны вероятности при нормальном распределении

Таким образом, компания «М» имеет большее среднеквадратическое отклонение доходности, что указывает на большую вероятность того, что средняя доходность не будет достигнута. Следовательно, вложение в компанию «М» вне какого-либо портфеля является более рискованным.

Если распределение вероятностей нормальное, или гауссовское, то в 68,26% случаев фактическая доходность окажется в интервале 1 ее СКО от среднего значения. На рис. 5.2 отражен именно этот эффект. Кроме того, показаны и вероятности того, что доходность окажется в интервалах и от среднего значения. Для компании «М» k = 15% и , в то время как для компании «А» k = 15% и Таким образом, если два распределения доходности этих акций нормальны, то с вероятностью 68,26% фактическая доходность компании «А» будет находиться в диапазоне 15 3,87%, или от 11,13 до 18,87%.

Использование исторических данных для измерения риска. В предыдущем примере мы описали процедуру нахождения среднеквадратического отклонения, если данные были представлены в виде известного распределения доходности акции. На практике же исследователю чаще бывают доступны только данные по доходности за несколько прошлых периодов (лет). В этом случае среднеквадратическое отклонение можно будет примерно оценить так

Эмпирическое = S = , (5.4)

где означает фактическую доходность в году t, а – среднегодовая доходность за n последних лет.

Эмпирическое значение часто используется для прогнозирования будущего Гораздо реже, но за некоторый прошедший период также используется в качестве оценки будущей средней доходности k. Отметим, что это делается, в общем, ошибочно. Поскольку прошлые колебания доходности обычно имеют свойство повторяться, S может считаться вполне удовлетворительной оценкой будущего риска. Однако предполагать, что прошлые уровни доходности могут служить хорошим приближением ее будущих величин, кажется гораздо менее обоснованным.

Измерение автономного риска: коэффициент вариации. Если необходимо сделать выбор между двумя инвестициями, имеющими одинаковую среднюю доходность, но различные среднеквадратические отклонения, большинство людей сделает выбор в пользу того варианта, при котором отклонение меньше и соответственно риск ниже. Аналогично при выборе между двумя инвестициями с одинаковым риском (среднеквадратическим отклонением), но разной доходностью инвесторы обычно предпочитают ту, у которой средняя доходность будет выше. Но как сделать выбор между двумя вариантами вложения капитала, если один из них предполагает и большую доходность, и больший риск одновременно? Для ответа на этот вопрос мы часто используем особую меру риска – коэффициент вариации (СV), который вычисляется как среднеквадратическое отклонение, деленное на среднюю ожидаемую доходность:

(5.5)

Коэффициент вариации отражает риск, который приходится на единицу доходности. Он дает базу для сравнения вариантов инвестирования, когда и их средняя доходность, и их риск неодинаковы. Поскольку у компаний «М» и «А» средние доходности одинаковы, использование этого коэффициента не обязательно. У фирмы с большим среднеквадратическим отклонением, компании «М», будет и больший коэффициент вариации. На самом деле для «М» он равен 65,84/15 = 4,39, а для компании «А» составляет 3,87/15 = 0,26. Таким образом, на основании критерия коэффициента вариации компания «м» почти в 17 раз более рискованна, чем компания «А».

Использование коэффициента вариации необходимо, если у рассматриваемых проектов различные средние нормы прибыли и различные среднеквадратические отклонения.

Несклонность к риску и доходность, требуемая инвесторами. Как показывают очень многие исследования, большинство инвесторов не склонно к риску.

Отметим, что при прочих равных условиях чем выше риск ценной бумаги, тем ниже оказывается ее цена и тем выше средняя доходность, требуемая инвесторами. Чтобы увидеть, как несклонность к риску влияет на цены ценных бумаг, снова вернемся к акциям компаний «М» и «А», чьи доходности представлены на рис. 5.2. Предположим, что первоначально акции обеих компаний продавались по 100 ден. ед. за штуку. Напомним, что доходности обеих акций ожидались в среднем на уровне 15%. Но инвесторы не склонны к риску, и поэтому в данном случае большинство из них предпочтет менее рискованные акции «А». Те из них, кто не имел вложений в эти акции, станет покупать «А», и более того, даже акционеры компании «М» начнут продавать свои акции, чтобы на вырученные средства приобрести акции другой фирмы. В результате повышенный спрос заставит цену акций компании «А» вырасти, а активные продажи приведут к падению акций «М».

Изменения цен, в свою очередь, вызовут изменение средней доходности по этим двум ценным бумагам. В самом деле, пусть, например, рыночная цена акций компании «А» поднялась со 100 до 150 ден. ед., а цена акций «М» снизилась со 100 до 75 ден. ед. Такое изменение цен вызовет снижение средней ожидаемой в дальнейшем доходности акций «А» с 15 до 10%, в то время как средняя доходность акций «М» возрастет с 15 до 20%. Разница в прибыли 20 – 10 = 10% и будет премией за риск, которая представляет собой повышенную доходность, которая требуется инвесторам, чтобы те начали приобретать более рискованные акции «М».

Этот пример демонстрирует очень простой принцип: на рынке, на котором преобладают инвесторы, не склонные к риску, более рискованные ценные бумаги должны в среднем иметь более высокие доходности. Если подобной ситуации не наблюдается, продажа и покупка акций восстановят статус-кво.