– Глава 7 – временная стоимость денег

7.1. Оценка денежных потоков во времени

Принципы расчета временной стоимости денег имеют множество применений – от составления графиков выплаты кредитов до решений о приобретении нового оборудования. На самом деле из всех понятий, используемых в области финансов, ни одно не является столь важным, как временная стоимость денег, или, иначе говоря, анализ будущих денежных потоков, приведенных (дисконтированных) к настоящему моменту времени. Поскольку это понятие используется финансовыми менеджерами при решении многих задач управления финансами компании, надо, чтобы студент хорошо усвоил данный материал и мог его использовать в своей практической деятельности.

Один из наиболее важных инструментов в анализе с учетом будущих периодов – это временные графики, которые используются аналитиками, с тем чтобы помочь в представлении того, что происходит с определенной проблемой, а затем – в формулировании ее решения. Чтобы проиллюстрировать понятие линии временного типа, рассмотрим следующую диаграмму.

0 1 2 3 4 5

Время

Момент 0 на графике означает нынешний момент времени; момент 1 – это момент через один период, или конец периода 1; момент 2 – это время через два периода в будущем, или конец периода 2, и т. д. Другими словами, момент 1 представляет собой конец года 1, но также представляет и начало года 2, поскольку первый год только что закончился. При этом часто периодами являются годы, но могут быть использованы и другие временные интервалы, такие как полугодовые периоды, кварталы, месяцы или даже дни.

Потоки денежных средств располагаются над отметками времени, а процентные ставки – над графиком. Если процентная ставка остается постоянной в течение всех периодов, то ее показывают только в первом периоде, но если она изменяется, то все ее значения отображаются на соответствующих участках графика. Оттоки денег обозначаются отрицательными цифрами, а притоки – положительными. Неизвестные потоки денежных средств обозначаются вопросительными знаками. Для примера приведем следующий график.

5% 10%

–100 0 1 2

Здесь процентная ставка составляет 5% в течение первого периода, но она вырастает до 10% в течение второго периода. Поскольку начальные 100 ден. ед. – это приток наличных средств, происходящий сегодня, они идут со знаком плюс. В конце второго периода взамен придется заплатить неизвестную сумму, – и ее отметим со знаком минус. Если процентная ставка остается постоянной в течение всех периодов, то показываем ее только в первом периоде, но если она изменяется, то отображаем все ее значения на соответствующих участках линии временного типа.

Будущая стоимость денег. Рубль, полученный сегодня, более ценен, чем рубль, который будет получен в будущем, потому что, если он уже имеется, его можно вновь вложить в бизнес, получить проценты и в будущем получить большую сумму, чем один рубль.

Процесс перехода от текущей (приведенной) стоимости (PV) к будущей стоимости (FV) называется наращением сложного процента. Чтобы проиллюстрировать его, предположим, что вы сегодня положили в банк 100 ден. ед., которые будут приносить вам по 5% дохода ежегодно, причем предполагается ежегодно доносить на вклад проценты, полученные в предыдущем году.

Сначала выясним, сколько можно получить в конце первого года? Для этого понадобятся следующие обозначения:

PV – текущая стоимость, или начальная сумма на вашем счете. В нашем примере PV = 100 ден. ед.

i – ставка процентов, которую банк будет начислять на ваш счет за год. В нашем примере i = 5%, или в десятичных долях i = 0,05.

INT – сумма процентов в рублях, которые будете получать каждый год:

INT = Начальная сумма · i.

В нашем случае INT = 100 · 5% = 5 ден. ед.

FV_n – будущее значение, или конечная сумма на вашем счете в конце n лет, после того как на счет будут начислены последние положенные проценты.

В нашем примере n = 1, поэтому FV₁ можно вычислить следующим образом:

FV₁ = PV + INT = PV + PV · i = 100 · (1+0,05) = 105 ден. ед.

Таким образом, будущее значение в конце первого года равно произведению настоящего значения и множителя наращения, равного единице плюс процентная ставка.

А сколько у вас будет средств на счете через пять лет? Ниже представлен временной график для иллюстрации сумм, получаемых в конце каждого года:

0 1 2 3 4 5

5%

Начальный вклад: -100 FV₁ = ? FV₂ = ? FV₃ = ? FV₄ = ? FV₅ = ?

Полученные проценты: 5,00 5,25 5,51 5,79 6,08

Сумма на конец периода = FV_n: 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63

С учетом всех начисленных процентов ваша сумма на конец пятого года оказывается равной 127,63 ден. ед.:

FV₅ = ((((100 · 1,05) · 1,05) · 1,05) · 1,05) · 1,05 =

= 100 · 1,05⁵ = 127,63 ден. ед.

В общем виде будущее значение изначального единовременного платежа в конце n лет можно определить с помощью следующей формулы:

FV_n = PV · (1 + i)ⁿ = PV · FVIF_i,n . (7.1)

Последний член формулы (7.1) определяет множитель наращения для i и n, FVIF_i,n через (1 + i)ⁿ.

Формулу (7.1) и большинство других формул для временной стоимости денег, а также вытекающие из нее формулы для отдельных параметров можно рассчитать тремя способами: численным методом, используя обычный калькулятор, с помощью финансового калькулятора или с помощью компьютерной электронной таблицы. Большая часть работы в финансовом менеджменте выполняется с помощью финансового калькулятора или компьютера, но при изучении основных понятий лучше всего решать задачи обычным способом, пользуясь обыкновенным калькулятором.

Графическое представление процесса наращения сложного процента представлено на рис. 7.1.

Будущая стоимость 1 ден. ед.

5,0

3,0

1,0

i =15%

10%

5%

0

0 2 4 6 8 10

Периоды

0

Рис. 7.1. Соотношение между будущей стоимостью, процентными ставками и временем

На рис. 7.1 показано, как ден. ед. (или любая другая первоначальная сумма) нарастает с течением времени при различных процентных ставках. Чем выше процентная ставка, тем выше темпы роста. На самом деле процентная ставка сама является темпом роста: если положенная в банк сумма приносит 5% дохода, то средства на счете будут увеличиваться как раз со скоростью 5% за период. Заметьте также, что понятие временной стоимости денег можно применить к любой другой возрастающей переменной – к выручке фирмы, доходу в расчете на одну акцию, вашей будущей зарплате или чему-нибудь еще.

Текущая (приведенная) стоимость. Предположим, у вас имеются свободные денежные средства, и у вас есть возможность приобрести ценную бумагу, по которой вы получите 127,63 ден. ед. дохода через пять лет. Ваш банк в настоящее время принимает депозиты на пять лет под 5% в год с ежегодной капитализацией процентов. Вы считаете, что ценная бумага практически свободна от риска, как и банковский депозит. В этом случае ставку 5% можно назвать альтернативной ставкой доходности, или ставкой дохода, который вы можете получить при выборе альтернативного варианта инвестировании денег с аналогичным риском. Сколько вы при данных условиях были бы готовы заплатить за такую ценную бумагу?

Из примера расчета будущей стоимости, приведенного в предыдущем разделе, видно, что начальная сумма в 100 ден. ед., вложенная на 5 лет под 5% годовых, будет стоить 127,63 ден. ед. Поэтому вам должно быть безразлично, получить 100 ден. ед. сегодня или 127,63 ден. ед. через пять лет. 100 ден. ед. в данном случае определяется как текущая (настоящая, приведенная) стоимость (PV) суммы в 127,63 ден. ед., получаемой через пять лет при альтернативной ставке 5%. Если бы цена предлагаемой вам ценной бумаги была ниже 100 ден. ед., вам бы следовало ее купить, потому что так вы можете получить свои 127,63 ден. ед. «дешевле», чем при использовании альтернативного варианта инвестирования. Наоборот, если цена этой ценной бумаги составляла выше 100 ден. ед., вы не должны покупать ее, потому что у вас остается шанс вложить только 100 ден. ед., чтобы через пять лет получить те же 127,63 ден. ед., что и по ценной бумаге, – вы должны будете использовать его. Если бы цена бумаги составляла ровно 100 ден. ед., вам было бы безразлично, купить ценную бумагу или отказаться от покупки. Следовательно, 100 ден. ед. можно считать справедливой, или равновесной, ценой этого актива.

В общем, текущая (приведенная) стоимость единовременной выплаты, производимой через n лет в будущем, – это сумма, которая, если бы имелась в наличии сегодня, наросла бы в будущем до соответствующего значения. Поскольку сумма в 100 ден. ед. нарастет при альтернативной процентной ставке 5% до 127,63 ден. ед. через пять лет, 100 ден. ед. – это текущая стоимость 127,63 ден. ед., выплачиваемых через пять лет при ставке 5%.

Определение приведенной стоимости (PV) называется дисконтированием, и этот процесс является обратным для начисления сложных процентов: если вы знаете PV, вы можете вычислить и FV, и наоборот.

Чтобы составить формулу дисконтирования, надо переписать выражение для будущей стоимости:

FV_n = PV (1+i) n = PV · FVIF_i,n. (7.1)

Теперь выразить PV из него следующими несколькими способами:

(7.2)

Последнее выражение в (7.2) указывает на то, что коэффициент дисконтирования для i и n (PVIF_i,n) обратен множителю наращения и равен возведенной в степень дроби, стоящей в среднем выражении в (7.2).