1. Численное решение.

Соответственно графику получается, что теперь

FV_n = PV · (1+i)ⁿ = 100 · 1,03⁶ = 119,41 ден. ед.,

где i – это ставка за период; n – общее число периодов.

В мировой экономике для различных типов инвестиций используются различные периоды начисления сложных процентов. Например, на банковские депозиты проценты обычно начисляются ежедневно; по большинству облигаций проценты выплачиваются раз в полгода; дивиденды по акциям обычно выплачиваются ежеквартально. Если нужно было бы сравнить ценные бумаги с различными периодами начисления сложных процентов, необходимо было бы привести их к одному основанию. Это потребовало бы приведения разницы между номинальными процентными ставками и эффективными, или эквивалентными, годовыми процентными ставками.

Номинальная процентная ставка в данном примере составляет 6%. Эффективная (или эквивалентная) годовая ставка определяется как ставка, начисление процентов по которой один раз в конце года даст то же будущее значение инвестиции, что и при начислении по номинальной процентной ставке, но несколько раз в год с капитализацией. В примере эффективная ежегодная ставка – это ставка, начисление процентов по которой раз в год позволит получить сумму вклада в конце года (3), равную 119,41 ден. ед. Ниже представлен временной график данной ситуации.

0 EAR (EFF) 1 2 3

-100 119,41

Можно рассчитать эффективную годовую ставку при данной номинальной ставке и известном числе периодов начисления процентов за год, используя следующую формулу:

EAR (или EFF) = – 1, (7.11)

где i_Nom – номинальная процентная ставка; m – число периодов начисления процентов в год.

Например, чтобы найти эффективную ежегодную ставку, когда номинальная ставка равна 6% и используется полугодовое начисление процентов, проводятся следующие вычисления:

EAR (или EFF) = (7.12)

Формула для расчета будущей суммы вклада при дробных периодах начисления процентов такова:

FV_n = PV

где i_Nom – номинальная, или объявленная, процентная ставка; m – число периодов начисления процентов за год; n – число лет.

Полугодовые и более частые периоды начисления сложных процентов можно использовать и для дисконтирования, а также для расчета приведенного и будущего значения как единовременных платежей, так и аннуитетов. Рассмотрим, например, случай, когда нужно найти приведенное значение обыкновенного аннуитета с выплатами по 100 в год на протяжении трех лет, когда процентная ставка равна 8% с начислением ежегодно и аннуитета с выплатами по 50 ден. ед. раз в полгода с начислением процентов также раз в полгода.

Временной график с годовым начислением:

PV = ? 100 100 100

Легко найти, что приведенное значение аннуитета равно 257,71 ден. ед.

Временной график с полугодовым начислением:

Текущее приведенное значение аннуитета при начислении процентов раз в полгода оказывается равно 262,11 ден. ед. против 257,71 ден. ед. при условии ежегодного начисления процентов. Причина этого состоит в том, что платежи при начислении процентов раз в полгода происходят раньше и на них начисляются большие проценты, поэтому получение 50 ден. ед. в полгода выгоднее, чем 100 ден. ед. при выплатах в конце каждого года.

Сравнение различных типов процентных ставок. Чаще всего в деятельности в области финансов имеют дело с тремя типами процентных ставок: номинальными ставками i_Nom, периодическими ставками i_Per и эффективными ежегодными ставками ЕАR или ЕFF. Важно уяснить, что представляет собой каждая из них и для чего она используется.

Номинальная процентная ставка i_Nom – это ставка, которая объявляется банками, брокерами и другими финансовыми учреждениями. Поэтому если вы ведете переговоры с банкиром, брокером, компанией, выдающей кредиты на покупку автомобилей, или специалистом по студенческим кредитам, то вам они назовут номинальную ставку. Однако для того чтобы анализ имел смысл, помимо номинальной процентной ставки, необходимо знать и число периодов начисления процентов в течение года. Если выпускающий кредитную карту банк объявляет годовую процентную ставку 18% с начислением процентов ежемесячно, это означает, что периодическая процентная ставка равна

в месяц.

Номинальные ставки, доходности разных инструментов можно сравнивать друг с другом, но только если по ним применяется одно и то же число периодов начисления процентов за год. Так, вы можете напрямую сравнить номинальную доходность по двум облигациям, если по ним выплачиваются проценты раз в полгода. Однако для того чтобы сравнить доходность 6% с выплатой процентов раз в год с доходностью 5% с ежемесячным начислением и капитализацией, необходимо будет привести доходности обоих инструментов к эффективной (эквивалентной) ставке (ЕАR).

Заметьте, что номинальная ставка никогда не отражается на временном графике и никогда не используется для ввода в финансовые калькуляторы (если только начисление процентов не происходит раз в год, и в этом случае i_Nom = i_Per = ЕАR. Если выплаты происходят чаще, чем раз в год, при расчетах следует использовать периодическую ставку.

Периодическая ставка i_Per – это процент, взимаемый кредитором или уплачиваемый заемщиком в течение каждого периода. Это может быть годовая ставка, ставка за период в шесть месяцев, квартал, месяц, день или любой другой интервал времени. Периодическая ставка находится следующим образом:

(7.13)

или

(7.14)

где i_Nom – номинальная годовая ставка; т – число периодов начисления процентов в течение года; i_Per – ставка наращения за один период.

Если в год осуществляется только один платеж, то m = 1 и периодическая ставка равна номинальной. Именно периодическая ставка обычно отображается на временных графиках и используется в практических вычислениях.

Эффективная (или эквивалентная) годовая ставка (ЕАR). Это годовая ставка, при ежегодном начислении процентов по которой будущее значение денежного потока будет равно результату начисления периодической ставки m раз в год. Значение ЕАR находится так:

(7.15)

где – это периодическая ставка, m – это число периодов за год.

Эффективная годовая ставка редко применяется в практических вычислениях. Тем не менее ее удобно использовать для сравнения доходности различных инвестиций с различными сроками получения дохода.

Резюме. Большинство финансовых операций включают ситуации, когда участники сделок осуществляют платежи в один момент времени, а получают возмещения в другие. Суммы в долларовом выражении, уплачиваемые или получаемые в эти моменты, отличаются друг от друга, и их приходится сравнивать методами анализа временной стоимости денег (ТVМ). Ниже перечислены способы этого анализа. Читая этот кейс, обращайтесь к рис. 7.3, чтобы найти на этой диаграмме примеры расчета по тем или иным формулам.

• Наращение сложного процента – это процесс формирования будущего значения (FV) потока денежных средств или ряда таких потоков. Общая сумма, или будущее значение, образуется путем сложения начальной суммы инвестиций и начисленных процентов.

Будущее значение одиночного платежа:

(7.16)

• Дисконтирование – это процесс нахождения текущего, приведенного значения (РV) будущего потока денежных средств или ряда таких потоков. Это процесс, обратный наращению сложного процента.

Приведенное значение одиночного платежа:

(7.17)

• Аннуитет определяется как ряд равных периодических платежей на протяжении заданного числа периодов.

Будущее значение аннуитета:

. (7.18)

Рис. 7.3. Иллюстрация начисления сложных процентов

(годовая процентная ставка i = 4%, начисление сложного процента раз за период)

Аннуитет, платежи по которому производятся в конце каждого периода, называется обычным аннуитетом. Приведенные выше формулы относятся к обычному аннуитету.

Если платежи производятся в начале, а не в конце периода, то мы имеем дело с ускоренным аннуитетом. На рис. 7.3 платежи по ускоренному аннуитету производятся в годы с 0-го по 2-й, а по обычному – в годы с 1-го по 3-й. Приведенное значение каждого платежа будет больше, поскольку каждый платеж производится на один период ранее, и приведенное значение всего аннуитета будет также больше. Аналогично и будущее значение ускоренного аннуитета будет больше, поскольку на каждый платеж сложный процент будет начисляться за один дополнительный период. Для преобразования приведенного и будущего значений обычного аннуитета в значения для ускоренного можно использовать следующие формулы:

РVA (ускоренного аннуитета) = РVА(обычного аннуитета) · (1 + i),

РVA (ускоренного аннуитета) = FVA (обычного аннуитета) · (1 + i).

Если бы временной график, изображенный на рис. 7.3, был продлен до бесконечности и платежи по 1 тыс. руб. производились бы каждый год в течение неограниченного периода времени, у нас получился бы бессрочный аннуитет (перпетуитет, консоль¹), значение которого можно было бы найти так:

РV (бессрочного аннуитета) =

Если потоки денежных средств непостоянны, мы не можем воспользоваться формулами для аннуитетов. Чтобы найти приведенное и будущее значения неравномерных потоков денежных средств, мы находим приведенное и будущее значения каждого отдельного потока денежных средств и затем складываем результаты. Если некоторые последовательные потоки денежных средств составляют аннуитеты, то можно использовать соответствующую формулу для приведенного значения части общего денежного потока.

Финансовые калькуляторы имеют встроенные программы, которые выпол­няют все операции, рассмотренные в данной главе. Программы электрон­ных таблиц Ехсе1 также снабжены соответствующими функциями.

Очень часто финансовые сделки предполагают совершение платежей чаще, чем раз в год. Такими являются, например, потребительские кредиты (по ним производятся обычно ежемесячные платежи, а если кредит карточный, то ежедневные) и большинство облигаций (проценты выплачиваются раз в полгода или раз в квартал). Аналогично большинство банков начисляет проценты на депозиты ежедневно. Когда начисление сложного процента происходит чаще, чем один раз в год, этот факт должен учитываться. Можно использовать пример, изображенный на рис. 7.3, и для иллюстрации начисления процентов один раз в полгода. В этом случае нужно учесть, что: 1) ставка 4% – это периодическая ставка, которая должна быть преобразована в номинальную ставку; 2) число лет должно быть преобразовано в общее число периодов следующим образом:

где т – число периодов начисления процентов в течение года,

Общее число периодов = Число лет · т.

Если начисление процентов происходит чаще, чем раз в год, периодическая ставка и общее число периодов должны использоваться для вычислений и отражаться на временных графиках.

Если сравнивать процентную стоимость займов или доходность вложе­ний, по которым доход выплачивается чаще, чем раз в год, то такое сравнение следует вести на основе эффективной (эквивалентной) годовой ставки (EAR, EFF):

. (7.19)

Общая формула для нахождения будущего значения единовременного денежного потока для любого числа периодов начисления сложного процента за год имеет вид:

, (7.20)

где номинальная процентная ставка; т – число периодов начисления процентов в году; п – число лет вложения средств.

Амортизационный заем – это заем, который погашается равными платежами в течение заданного периода времени. График погашения займа показывает, какую часть ежегодного платежа составляют процентные выплаты и какая сумма идет на сокращение основной суммы долга. Также рассчитывается остаток долга на конец каждого периода.