u_lectures

Итак (вдумайтесь) Декарт отбросил «Торичеллеву пустоту», которую наблюдал (!) Паскаль, и даже написал Гюйгенсу: «что же касается пустоты, то я. её нигде в природе не нахожу, кроме как, быть может, в голове у Паскаля».

А несколько месяцев спустя теория Паскаля стала общепринятой!

Декарт вывернулся: «Паскаль рассказывал мне недавно свою теорию, но ничего не понимал, так как даже не знал соответствующих аксиом. Но я ему всё объяснил, и теперь он выдаёт мою теорию за свою».

Декарт же вывел будто скорость света в воде на треть больше, чем в воздухе (?). Это противоречит и оптическому принципу Ферма, и принципу огибающих Гюйгенса, и многим другим вещам, поэтому замечательно подтверждает слова Р. Бойля (1772 г.): «абстрактная математика опасна для естествоиспытателя, математические абстрактные умозаключения подлежит проверять экспериментаторам».

Прислушайтесь к этим словам, господа математики!

2. К проблеме движения в математике. Противоречивость понятия бесконечности, учение о пределе.

Сначала мы кратко рассмотрим воображаемый спор Зенона и Коши, растянувшийся на полторы тысячи лет, приведший к появлению строгого понятия предела, и поговорим о глубокой проработке этого понятия Гегелем. Завершим тревожными фактами о тенденциях в современном преподавании математики в Америке и Франции.

Эпиграф снова из Гегеля: «Если актуальная бесконечность есть завершённое, законченное, ставшее целое, т.е. устойчивая сторона бесконечности, то потенциальная бесконечность – незаконченное, становящееся, развивающееся целое, т.е. она охватывает динамическую сторону сложного и противоречивого бесконечного. Поэтому они едины и представляют собой раздвоение единого бесконечного и познание противоречивых его частей, сторон.»

1. Сегодня порассуждаем о другом знаменитом парадоксе – апории Зенона «стрела никогда не долетит до цели», и как блестяще разрешил этот парадокс через полторы тысячи лет великий французский математик Огюстен Луи Коши.

решений. Значит, - не долетит!»

Уравнение 1n 0 и вправду неразрешимо, значит, что же, не долетит?

Возразить Зенону можно действием – метнуть ему в голову камень и успокаивать: «не беспокойся, Зенон, пока этот камень пролетит 12 пути до

твоей блестящей, просвящённейшей головы, ему останется 12 , когда же он,

в натуральных числах…»

Тут уж Зенон отреагирует мгновенно, поднимет руку, увернётся…

В том-то и дело, что Зенон знает, что конечно же долетит, но и его цепочка рассуждений безупречна! Так может ли наше мышление адекватно схватывать в понятиях явления, феномены реального мира? Найдите у меня ошибку, - предлагает он.

Можно пускаться в бесконечный спор, ведущий к дурной бесконечности: Не долетит. – Долетит. Не долетит. – Долетит. Не долетит. – Долетит, и т.д. полторы тысячи лет…

Теперь слово Коши, а он и не спорит: «Не долетит, говоришь ты, о Зенон, хорошо, хорошо, пусть не долетит. (Все математические теоремы

начинаются с этого пусть). Итак, пусть не долетит. А что это значит? Значит существует такое положительное (возможно очень малое) расстояние до цели0 (в знак уважения к тебе, Зенон, обозначим его греческой буквой) такое

что все остатки из твоего рассуждения больше либо равны ему: 1n для любого натурального n . Или, по-другому, это означает, что противоположное неравенство 1n неразрешимо в натуральных числах.

Ведь так, Зенон? Ну, вот, ты согласен, что, если ты прав, и стрела не долетит до цели, то неравенство 1n неразрешимо. А ведь оно разрешимо!

Его решением является любое натуральное n большее, чем1 : n 1 .

Возникает цепочка:

1)уравнение1n 0 неразрешимо, значить не долетит,

3)но 1n разрешимо, значит долетит,

4)но если долетит, то 1n 0 разрешимо,

5)а оно 1 0 неразрешимо, значит, не долетит, и т.д.

n

Это покруче, чем сказка про белого бычка!» Где же вы выход? В возникновении двух новых понятий: 1)

актуальной бесконечности – такого особенного числа ∞, которым мы пополним множество натуральных числе (не потенциальная, вечно разворачивающаяся никогда не достижимая бесконечность, бесконечность как вечный процесс, а актуальная, вот оно число , с арифметическими свойствами n ,n и т.д.) и 2) понятие предела, когда не

отгородишься никакими малыми , начиная с некоторого номера 1n , т.е.

всесторонне было исследовано философом Гегелем, причём он настолько хорошо понял его, что находит ошибки и неточности в рассуждениях и выкладках самых отцов-основателей дифференциального исчисления – Ньютона и Лейбница, достаётся и Эйлеру, и Лагранжу. Можно ли себе представить современного философа, который бы на равных, а то и глубже, понимал идеи нынешних проблем и наук (теории катастроф, синергетики, струнных или уже и бранных вариантов Единой теории поля), и находил ошибки у Пригожина, Хакена и т.д.? Сначала Гегель (речь идёт о «Науке логики», конечно) рассуждает о бесконечности: «Применяя метод своего бесконечного, математика находит главное противоречие в самóм характерном для неё методе, на котором она вообще основывается как наука. Исчисление бесконечного разрешает и требует таких приёмов, которые она должна отвергать, оперируя конечными величинами, и в то же время она обращается со своими бесконечными величинами как с конечными определёнными количествами и хочет применять к первым те же приёмы, которые применяются к последним. Очень важно, что математика нашла для трансцендентных определений и действий над ними форму обычного исчисления» ( в частности 1 , , как и 0 0 0 ).

Кстати, достаётся и Канту (на стр. 324), который недоумевает над определением «бесконечна та величина, больше которой невозможна никакая другая величина. Но никакое множество не может быть наибольшим, т.к. ко

всякому множеству можно прибавить ещё одну или несколько единиц…»

эквивалентность: a b , для которого выполнены все три аксиомы строгого, ортодоксального равенства, с которым только и имеет дело алгебра.

На стр. 354 Гегель цитирует такое определение из одной статьи 1827 г.: «Непрерывная величина есть такая величина, которая находится в таком состоянии становления, при котором это становление совершается не скачкообразно, а непрерывным движением вперёд», и восклицает: «Но ведь это тавтология, повторение того, что есть сама дефиниция». Чего греха таить, такие «дефиниции» можно и сегодня порой услышать на лекциях или прочесть в некоторых учебниках.

Нам, математикам, следует прислушаться к таким предупреждениям Гегеля, чего математика не может: «Математика вообще не в состоянии доказать определение величины в физике (в естествознании), поскольку эти определения суть законы, имеющие своей основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать по той причине, что она не философия, она не исходит из понятия, поэтому качественное находится вне её сферы.

До тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, чтó может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь из другого источника, равно как и различие между тем, что составляет лишь член аналитического разложения, и тем, что представляет собой физическое существование, до тех пор научность не сможет достигнуть

строгости и чистоты. Прикладная математика ещё полна такого рода варевом из опыта и рефлексии.» Как это современно, господа математики!

3. По традиции, завершим и эту лекцию шуткой, хотя это вовсе не шутка, а ФАКТ. «Штат Калифорния в Америке ввёл несколько лет назад правило, что для приёма в университеты штата школьники должны делить число 111 на число 3 без компьютера (и без остатка, естественно). Это требование предложил Г. Сиборг, химик и нобелевский лауреат, прославленный работами по трансурановым элементам.

Наличные студенты делить 111 на 3 не могли, и (вдумайтесь!) вашингтонские сенаторы сочли требование антиконституционной попыткой «учить в пределах нашей Родины тому, чего мы сами не понимаем». Калифорнийские требования критиковали также как «расистскую попытку преградить чёрным (теперь говорят афроамериканцам ) путь в Университет».

И ещё ФАКТ. «В семинаре института математики Университетов Париж-6 и Париж-7 15.06.2005 г. (есть даже конкретная дата!) мнение российского академика В. И. Арнольда, что студентов следует учить, что 7 8 56, оспаривалось коллегами-французами, предпочитающими учить их тому, что 7 8 8 7 .»

Вам, аспирантам, будущим доцентам и профессорам стоит над этим задуматься и бороться с нынешними мировыми тенденциями в пользу сохранения обучения настоящей математике в России.

3. Гипотеза Р. Тома о 17 ти элементарных формах архетипах мыслительной деятельности, языковые универсалии. О 17 ти группах плоских кристаллов и о «чувстве численности» у человека.

Эпиграфом возьмём слова Декарта из его письма к Серсенну от 20 ноября 1629 года: «Следует установить методическое расположение всех мыслей, подобно методически установленному порядку естественного ряда чисел, а для этого необходимо найти наипростейшие идеи, которые свойственны представлению каждого человека и из которых слагается всё то, что люди мыслят», а эпиграфом к третьей части – факты, приводимые Т. Данцигом в его работе «Number», New York, 1954: «Каждый человек обладает в той или иной мере способностью, называемой чувством численности. Опытные работницы табачных фабрик всегда берут в руку нужное количество папирос, не считая их. Поразительное умение различать

числовые совокупности обнаруживают осы. Самки этих насекомых обеспечивают каждое яйцо, отложенное в отдельную ячейку, постоянным числом гусениц, достигающим у одного из видов – 5, у другого – 12, у третьего – 24. Подобные примеры из жизни птиц заставили известного немецкого математика Кантора утверждать, что „утка умеет считать

своих утят!‟» И, наконец, Э. Сепир и Б. Уорф «Новое в лингвистике»: «Язык не

только средство фиксации результатов познавательной деятельности, способ опредмечивания наших мыслей, его роль активна, грамматика сама формирует мысль, являясь программой и руководством мыслительной деятельности, средством анализа и синтеза».

1. Поговорим о связи таких далёких друг от друга наук как топология и лингвистика, точнее о применении теории катастроф к языкознанию, из которого, в частности вытекает, что существует только 17 архетипов (атомарных архетипов) форм нашего мышления, которое приспособлено к отражению и постижению окружающего мира.

К анализу языка можно подходить с разных точек зрения, например, по аналогии с анализом теории кодирования в теории информации, или изучая полностью формированные языки без каких бы то ни было ссылок на смысл (в последнее время развилась теория формальных языков, которая является по существу чисто математической и связана с некоммутативной алгеброй свободных моноидов и групп. В Красноярске есть единственный в крае доктор наук по этой тематике – Сафонов Константин Владимирович, работает у нас в СФУ).

При этом возникает тонкость, которой не может быть в других «нормальных» науках, где метаязык описания не совпадает с внутренним языком, с внутренними понятиями науки, здесь же метаязык описания совпадает с обычным исследуемым языком, язык – средство описания и он же – предмет описания. Здесь невозможно избежать с одной стороны тавтологий, с другой парадоксов типа «парадокса деревенского парикмахера» или «парадокса лжеца», уже рассмотренного нами.

Мы рассмотрим подход французского математика и лингвиста Рене Тома, в котором смыслом не пренебрегают. Психический процесс определяется совокупностью нейрофизиологических процессов, пространство состояний нейронной сети представлено кубом огромной размерности. Далее, как в квантовой механике: психическое состояние – точка в этом кубе нейронной сети; эволюция психического состояния

описывается векторным полем X, относительно медленно меняющимся со временем; идея – «мгновенное психическое состояние» описывается аттрактором A поля X, который изоморфен сам себе в течение некоторого времени. Итак, Рене Том не выбрасывает смысл, идеи, это некие стабильные аттракторы, которые со временем разрушаются посредством бифуркации и уступают место новым аттракторам. Смысл идеи с этой точки зрения определён внутренней топологией аттрактора A и его положением в кубе.

Разумно предположить, что описание пространственно-временных процессов составляло одну из первых и главных функций языка, поэтому будем рассматривать тексты, описывающие пространственно-временные процессы, и если этот процесс описывается атомарной фразой (с одним глаголом), то график взаимодействия этого процесса принадлежит к одному из 17-ти следующих типов, т.е. существует верхняя граница топологической сложности процессов, описываемых атомарными фразами.

Интересно, что графы, идущие в правой колонке, изображают схематически все 17 типов возможных катастроф. Если же вы разобьёте любой большой текст (Толстого, Пруста, Диккенса и т.д.) на атомарные фразы, то вы увидите те же 17 типов, способов формирования и изложения мысли! Поупражняйтесь дома, взяв наугад небольшой газетный текст, убедитесь.

2. Интересно, что Р. Том великий тополог и специалист по теории катастроф, видимо, не специалист в вопросах симметрии плоских кристаллов, но мы-то знаем, что групп симметрий плоских кристаллов также ровно 17 (!). Это проявляется в проектировании видимых объектов на

двумерную поверхность глазного яблока (точнее – зрачка). Есть над чем подумать, интересно, и вряд ли случайно.

3. Малое «много» и многое «много» в славянских языках в отличие от языков романской или германской группы (раз уже мы заговорили о лингвистике) и о выделенной роли числа 4 .

В английском языке (как и в немецком, испанском, французском и т.д.) есть одно и много, множественность подчёркивается буквой s , причём, не важно два, пять или десять объектов.

Например, 1 окно – one window; 2, 3, или 10-ть окон – windows;

1стол – one table; 2, 3, или 10-ть столов – tables и т.д.

Врусском же (как и в белорусском, украинском, польском, чешском и т.д.) – не так!

1 окно; 2, 3, 4 окна; но 5,6,7 и т.д. окон;

1 стол; 2, 3, 4 стола; но 5, 6,7 и т.д. столов;

1 река; 2, 3, 4 реки; но 5,6,7 и т.д. рек;

1 стена; 2, 3, 4 стены; но 5, 6,7 и т.д. стен.

Т.е. есть одно; два, три, четыре – малое «много»; пять, шесть, семь и т.д. – многое «много». Объясняется это так: мы живём в трёхмерном мире, ориентируемся в нём, реагируем в нём, эта трёхмерность генетически вживлена в нас (если даже мы об этом не знаем).

1 точка задаём 0- мерный (атомарный) объект, он отражён в нашем сознании как некое одно; 2 точки – «пара» задают 1-мерный объект – отрезок между ними, т.е. пара также отражена в сознании как некое одно; 3 точки – «тройка» задают 2 -мерный объект – плоскость, проходящую через эти три точки (или треугольник в ней), т.е. тройка тоже отражена как некое одно. Наконец, 4 точки – «четвёрка) задают 3 - мерный объект – пирамиду, тетраэдр, максимальный по размерности объект, который может быть «всунут» в наше пространство и в наше сознание, которое и четвёрку ещё может мыслить как некое одно, некое единство. А вот уже пять точек, пять объектов мыслить как одно уже трудно (хотя у человека 5-ть пальцев на руке!).