для любого фиксированного x I числовая последовательность{ fn (x)}n+∞=1

является фундаментальной и, следовательно сходящейся, в силу критерия Коши для числовой последовательности. Определим функцию

f (x) = nlim→+∞ fn (x), x I

и покажем, что рассматриваемая функциональная последовательность сходится к функции f равномерно.

Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , что для всех n ≥ N , p =1, 2 , … и произвольного x I выполняется неравенство

| fn+p (x) − fn (x) |<ε.

Переходя здесь к пределу при p → +∞, получаем, что

| f (x) − fn (x) |≤ε .

Полученное неравенство означает, что имеет место равномерная сходи-

I

мость fn f . Теорема доказана.

2. Функциональные ряды.

Пусть {an}+∞n=1 — последовательность функций, определенных на некотором промежуткеI . Выражение

a1(x) + a2 (x) + + an (x) +,

+∞

или ∑an (x) называется функциональным рядом.

n=1

+∞

Если для некоторого x0 I числовой ряд ∑an (x0 ) сходится, говорят,

n=1

что исходный функциональный ряд сходится в точке x0 . Если числовой ряд

+∞

∑| an (x0 ) | сходится, говорят, что исходный функциональный ряд абсо-

n=1

+∞

лютно сходится в точке x0 . Если функциональный ряд ∑an (x) сходится в

n=1

каждой точке x I , говорят, что он сходится поточечно на промежутке I .

+∞

Если функциональный ряд ∑an (x) абсолютно сходится в каждой точке

n=1

x I , говорят, что он абсолютно сходится на промежутке I . Рассмотрим частичные суммы функционального ряда:

n

Sn (x) = ∑ak (x), x I, n =1,2, .

k=1

Поточечная сходимость функционального ряда означает, что для каждого x I числовая последовательность {Sn (x)}n+∞=1 является сходящейся. Таким образом, определена функция

называемая суммой этого ряда. Если последовательность частичных сумм {Sn}+∞n=1 равномерно сходится на промежутке I , говорят, что функциональ-

Тогда равномерная сходимость по определению означает, что

n

S(x) −∑ak (x) 0, x I.

k=1

+∞

Последнее соотношение можно переписать так: ∑ ak (x) 0, x I или

k=n+1

+∞

nlim sup ∑ ak (x) = 0.

→+∞ x I k=n+1

Как и в случае числовых рядов, иногда рассматриваются функциональные ряды, суммирование в которых проводится не от 1 до +∞, а от 0 или от произвольного целого числа до +∞.

ЗАМЕЧАНИЕ. Рассмотрим произвольный сходящийся числовой ряд

+∞

∑an . Обозначим сумму этого ряда через s . Его можно рассматривать как

n=1

функциональный ряд, составленный из постоянных функций, определенных на произвольном промежутке I . Обозначим члены этого ряда сле-

x I выполняется равенство

Остается заметить, что правая часть последнего соотношения не зависит от x и стремится к нулю.

Перейдем теперь к некоторым примерам.

ется равенство sup |σn (x) |= +∞, и равномерная сходимость рассматри-

−1<x<1

ваемого ряда на промежутке (−1,1) места не имеет. Аналогично получаем, что ряд не будет равномерно сходящимся на промежутке [0,1). Из соотно-

щимся и на промежутке (−1,0] .

Для любого α , 0 <α <1 рассматриваемый ряд равномерно сходится на промежутке [−α,α], что следует из соотношения

Отметим следующие свойства равномерно сходящихся рядов. Доказательства этих свойств предоставляются читателю.

n=1

сходятся на этом промежутке.

+∞

2) Если функциональный ряд ∑an (x) равномерно сходится на про-

n=1

межутке I , а функция ϕ определена и ограничена на этом промежутке,

+∞

то ряд ∑ϕ(x)an (x) равномерно сходится на промежутке I .

n=1

+∞

3) Если функциональный ряд ∑an (x) равномерно сходится на про-

n=1

+∞

межутке I , то для любого p ≥1 функциональный ряд ∑an (x) также

n=p

равномерно сходится на этом промежутке.

Перейдем теперь к признакам равномерной сходимости функциональных рядов.

Из критерия Коши равномерной сходимости функциональной последовательности непосредственно вытекает следующий критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

ТЕОРЕМА 2 (КРИТЕРИЙ КОШИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИО-

+∞

НАЛЬНОГО РЯДА). Функциональный ряд ∑an (x), x I равномерно сходит-

n=1

ся на промежутке I в том и только том случае, когда для любого ε > 0 найдется такоеN , что для всех n ≥ N , p =1, 2 , … и всех x I выполня-

n+p

ется неравенство ∑ ak (x) <ε.

k=n+1

СЛЕДСТВИЕ 1 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ

+∞

ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА). Если функциональный ряд ∑an (x), x I равно-

n=1

мерно сходится на промежутке I , то последовательность его членов {an (x)}+∞n=1 равномерно сходится к нулю на промежутке I , то есть выпол-

няется соотношение lim sup | an (x) |= 0 .

n→+∞ x I

Это утверждение вытекает из критерия Коши при p =1. Приведен-

ное следствие является аналогом необходимого условия сходимости числового ряда (nlim→+∞an = 0) и также не является достаточным (как для пото-

чечной, так и для равномерной сходимости). Приведем соответствующий пример.

+∞ xn

Рассмотрим функциональный ряд ∑ , 0 ≤ x ≤1. Обозначим

n=1 n

ский и, следовательно, расходится. При 0 ≤ x <1 ряд сходится. Это следует, например, из того, что при этих значениях x ряд мажорируется сходя-

+∞

щимся рядом ∑xn . Покажем, что при 0 ≤ x <1 ряд не является сходящим-

n=1

ся равномерно. Для этого возьмем произвольное число x [0,1) и рассмотрим сумму

Числители дробей в правой части образуют убывающую последовательность, а знаменатели — возрастающую последовательность. Следовательно, выполняются неравенства

Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим, то есть x2n , и учитывая,

2n

что сумма содержит n слагаемых, получаем оценку

Из полученного соотношения следует, что

В силу произвольности числа n , отсюда находим, что рассматриваемый ряд не удовлетворяет условию критерия Коши и, следовательно, не является равномерно сходящимся.

Приведем еще одно следствие критерия Коши равномерной сходимости ряда.

+∞

СЛЕДСТВИЕ 2. Если функциональный ряд ∑| an (x) |, x I равномерно

n=1

ТЕОРЕМА 3 (ПРИЗНАК ВЕЙЕРШТРАССА). Предположим, что члены фун-

+∞

кционального ряда ∑an (x), x I допускают оценки

n=1

| an (x) |≤Cn , x I , n =1, 2, …,

из признака сравнения для знакопостоянных рядов. Докажем теперь рав-

+∞

номерную сходимость ряда ∑| an (x) |. Отсюда будет следовать и равно-

n=1

+∞

мерная сходимость ряда ∑an (x).

n=1

+∞

Выберем произвольное ε > 0. Из сходимости ряда ∑Cn , в силу кри-

n=1

терия Коши сходимости числового ряда получаем, что существует такое

дующие величины: bn = sup | an (x) |, n . Предположим, что все они я в-

x I

ляются конечными. Из оценки | an (x) |≤bn , n , x I следует, что число-

сравнения числовых рядов с неотрицательными членами. Из сказанного

+∞

вытекает следующее утверждение: к функциональному ряду ∑an (x) мож-

n=1

но применить признак Вейерштрасса в том и только том случае, когда схо-

+∞

дится ряд ∑sup | an (x) |.

n=1 x I

По аналогии с признаком Вейерштрасса доказывается следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 4 (ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ). Если

Доказательство этой теоремы несущественно отличается от доказательства признака Вейерштрасса и предоставляется читателю. Отметим, что признак Вейерштрасса является следствием этой теоремы.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим функциональный ряд

+∞ sin nx, .

∑ n2 x

n=1

Из оценки

чаем равномерную сходимость исходного функционального ряда на всей вещественной оси.

ПРИМЕР 2. Доказать равномерную сходимость функционального ряда

x > n12 — неравенство an′ (x) < 0. Следовательно, функция an возрастает на

промежутке [0,1n2 ] и убывает на промежутке [1n2 ,+∞) . Отсюда вытека-

ет, что в точке 1n2 функция an принимает свое наибольшее значение на промежутке [0,+∞) , то есть

циональный ряд по признаку Вейерштрасса сходится равномерно.

признаку Лейбница знакопеременный ряд +∞ (−1)n−1 сходится. Это означа-

∑

n=1 n + x

ет, что рассматриваемый функциональный ряд сходится на промежутке [0,+∞) поточечно.

Из соотношения

n

признака сравнения положительных рядов в предельной форме и расходи-

есть исходный ряд +∞ (−1)n−1 не является абсолютно сходящимся. Поэтому

∑

n=1 n + x

для анализа равномерной сходимости этого ряда нельзя использовать признак Вейерштрасса. Этот же вывод можно сделать и из равенства

из которого следует, что рассматриваемый ряд мажорируется только расходящимися числовыми рядами.

Покажем, что ряд +∞ (−1)n−1 сходится равномерно на промежутке

∑

n=1 n + x

[0,+∞) . Для этого воспользуемся оценкой суммы остатка ряда типа Лейб-

ница: модуль суммы не превосходит модуля своего первого члена. Тогда имеем:

Полученная оценка означает, что суммы остатков рассматриваемого ряда равномерно сходятся к нулю, то есть ряд сходится равномерно на указанном промежутке.

верждения также следует, что ряд +∞ x не сходится равномерно на

∑n=1 (1+ x)n

промежутке [0,+∞) . Действительно, все члены этого ряда являются функциями, непрерывными на промежутке [0,+∞) . Легко найти сумму этого

ряда, то есть функцию +∞ x . При x > 0 имеет место равенство

S(x) = ∑n=1 (1+ x)n

S(x) =1, кроме того, S(0) = 0. Функция S не является непрерывной на промежутке [0,+∞) , что невозможно для равномерно сходящегося ряда.

+∞

ЗАМЕЧАНИЕ. Для функционального ряда ∑an (x), x I мы рассмат-

n=1

ривали выше четыре типа сходимости:

 поточечная сходимость на промежутке I , то есть сходимость

+∞

числового ряда ∑an (x) для любого фиксированного x I ;

n=1

 абсолютная сходимость на промежутке I , то есть сходимость

+∞

числового ряда ∑| an (x) | для любого фиксированного x I ;

n=1

+∞

 равномерная сходимость функционального ряда ∑an (x) на

n=1

промежутке I ;

+∞

 равномерная сходимость функционального ряда ∑| an (x) | на

n=1

промежутке I .

На приводимой ниже диаграмме указано, из каких видов сходимости вытекает сходимость другого типа.