- •Глава 1. Функции нескольких переменных
- •1. Предварительные определения
- •2. Открытые и замкнутые множества
- •3. Предел функции нескольких переменных
- •4. Функции, непрерывные в точке
- •5. Функции, непрерывные на множестве
- •6. Частные производные
- •7. Производная сложной функции
- •8. Производные высших порядков
- •9. Оператор Лапласа
- •10. Неявные функции
- •11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •12. Экстремумы функций нескольких переменных
- •Глава 2. Функциональные последовательности и ряды
- •1. Поточечная и равномерная сходимость.
- •2. Функциональные ряды.
- •3. Признаки Абеля и Дирихле
- •4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.
- •5. Степенные ряды
- •6. Ряд Тейлора
- •Исторические сведения
- •Абель
- •Адамар
- •Д’Аламбер
- •Больцано
- •Вейерштрасс
- •Дирихле
- •Коши
- •Лаплас
- •Лейбниц
- •Ньютон
- •Сильвестр
- •Тейлор
Глава 2 |
74 |
Функциональные ряды |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Абель |
|
|
Дирихле |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что ни одну из этих стрелок нельзя обратить, например, из поточечной сходимости, вообще говоря, не вытекает равномерная сходимость и так далее.
3. Признаки Абеля и Дирихле
Приводимые ниже признаки являются аналогами признаков Абеля и Дирихле для случая числовых рядов.
Напомним сначала следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 5. Предположим, что n , {ak }nk=1 — монотонная число-
вая последовательность, {bk }nk=1 — произвольная числовая последовательность. Тогда имеет место оценка
n
∑akbk
k=1
k
≤ (| a1 | +2 | an |) max ∑bi .
1≤k≤n i=1
Указанное в теореме неравенство называется неравенством Абеля.
ТЕОРЕМА 6 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что для функцио-
+∞
нального ряда ∑an (x)bn (x) , x I выполняются следующие условия:
n=1
1) для каждого x I числовая последовательность {an (x)}n+∞=1 явля-
ется монотонной;
2) an (x) 0 на промежутке I ;
3) существует такая константа M , что для всех n ≥1, x I имеет
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
место оценка |
∑bk (x) |
|
≤ M . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда ряд ∑an (x)bn (x) |
равномерно сходится на промежутке I . |
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
Для произвольных натуральных n , p и любого |
||||||||||||
x I из условия 3) теоремы получаем: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
n+p |
|
|
n+p |
n |
|
n+p |
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ bk (x) |
= |
∑bk (x) −∑bk (x) |
≤ |
∑bk (x) |
+ |
∑bk (x) |
|
≤ 2M. |
||||
|
k=n+1 |
|
|
k=1 |
k=1 |
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
Воспользуемся условием 2) формулировки теоремы. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , что при n ≥ N для всех x I выполняется неравенство | an (x) |<ε . Применяя для произвольного фиксированного x I
неравенство Абеля к числовым последовательностям
{ak (x)}nk+=np+1 и {bk (x)}nk+=np+1,
находим:
Глава 2 |
75 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
n+p
∑
k=n+1
ak (x)bk (x) ≤ (| an+1(x) | +2 | an+p (x) |)
<3ε
n+q
max ∑ ak (x)bk (x) ≤ 6εM .
1≤q≤p k=n+1
≤2M
В силу произвольности ε , из критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда выводим равномерную сходимость ряда
+∞
∑an (x)bn (x) .
n=1
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. Условие 2) формулировки теоремы может быть пере-
+∞
формулировано так: частичные суммы ряда ∑bn (x) равномерно ограни-
n=1
чены на промежутке I .
СЛЕДСТВИЕ ПРИЗНАКА ДИРИХЛЕ. Предположим, что последовательность функций {an}+∞n=1, определенных на промежутке I , удовлетворяет следующим условиям:
1) для любого x I числовая последовательность {an (x)}n+∞=1 являет-
ся монотонной;
2) an (x) 0 на промежутке I .
+∞
Тогда функциональный ряд ∑(−1)n−1an (x) равномерно сходится на про-
n=1
межутке I .
Это утверждение вытекает из признака Дирихле, если положить
bn (x) = (−1)n−1, n , x I .
Отметим, что приведенное следствие является аналогом (для случая функциональных рядов) признака Лейбница сходимости числового ряда.
|
|
|
|
+∞ |
(−1)n−1 xn |
|
ПРИМЕР. Доказать равномерную сходимость ряда ∑ |
|
α на |
||||
промежутке 0 ≤ x ≤1 при любом α > 0. |
n=1 |
(n |
+ x) |
|||
|
|
|
||||
РЕШЕНИЕ. Полагаем |
|
|
|
|
||
a (x) = |
1 |
, |
b (x) = (−1)n−1 xn , |
n =1,2, 0 ≤ x ≤1 |
|
|
α |
|
|||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
(n + x) |
|
|
|
|
|
При любом фиксированном x [0,1] последовательность {an (x)}n+∞=1 является убывающей. Из оценки
an (x) ≤ |
1 |
, n , 0 ≤ x ≤1 |
α |
||
|
n |
вытекает, что an (x) 0 на промежутке [0,1] .
Глава 2 |
76 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
Частичные суммы ряда ∑bn (x) имеют вид |
|
|
|
|
||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
x |
|
|
Sn (x) = ∑bk (x) = ∑(−1)k−1 xk = |
x −(−1) |
|
. |
|||
|
|
|
||||
k=1 |
k=1 |
1+ x |
|
|
|
Оценивая модуль числителя последней дроби сверху, а знаменатель снизу, получаем:
| x −(−1)n x |≤| x | +| (−1)n x |≤ 2, 1+ x ≥1.
Отсюда следует, что для любого x [0,1] имеет место неравенство | Sn (x) |≤ 2. Все условия признака Дирихле выполнены, следовательно, рассматриваемый ряд сходится на промежутке [0,1] равномерно.
Отметим в заключение, что при α >1 равномерная сходимость рассматриваемого ряда может быть выведена из признака Вейерштрасса. Действительно, для любого x [0,1] выполняется оценка
|
(−1)n−1 xn |
|
≤ |
xn |
|
≤ |
1 |
, |
n =1,2, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
α |
|
|
α |
α |
|
|
|||||
|
(n + x) |
|
|
(n + x) |
n |
|
|
|
|
|||
поскольку для любого |
x [0,1] |
имеют |
место |
неравенство xn ≤1, |
||||||||
(n + x)α ≤ nα . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
, |
x [0,2π] и по- |
ПРИМЕР. Рассмотрим функциональный ряд ∑sinαnx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
кажем, что
1)при α >1 этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке
[0,2π];
2)при 0 <α ≤1 ряд сходится поточечно на отрезке [0,2π];
3)при 0 <α ≤1 ряд сходится равномерно на отрезке вида [δ,2π −δ]
при любом δ , 0 <δ <π ; 4) при 0 <α ≤1 ряд не сходится равномерно на любом отрезке вида
[0,δ], δ > 0.
РЕШЕНИЕ. 1) При α >1 члены рассматриваемого ряда мажорируются членами сходящегося числового ряда:
sinαnx |
|
≤ |
1 |
, 0 ≤ x ≤ 2π, |
|
||||
|
α |
|||
n |
|
|
n |
и по теореме Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится на промежутке [0,2π] абсолютно и равномерно.
Глава 2 |
77 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
n
Для дальнейшего анализа найдем сумму S = ∑sin kx . Умножая обе
k=1
части последнего соотношения на sin 2x , в предположении, что эта величина отлична от нуля, и учитывая тождества
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα sin β = |
1 |
(cos(α − β) −cos(α + β)), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
β −α |
|
|
|
|
|
|
β +α |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα −cos β = 2cos |
cos |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
sin |
|
|
S = ∑sin kx sin |
|
|
|
= |
|
∑ cos |
k − |
|
|
x −cos k |
+ |
|
x |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
2 k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
3x |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
||||||
= |
|
cos |
|
−cos |
+ cos |
|
|
|
−cos |
|
|
|
+ |
+ cos n − |
−cos n + |
= |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
nx |
|
(n +1)x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
cos |
|
|
−cos |
n + |
|
|
x =sin |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отсюда получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin nx |
|
|
|
|
|
(n +1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Вернемся теперь к анализу функционального ряда. В дальнейшем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
всюду предполагаем, что 0 <α ≤1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2) Покажем, что рассматриваемый ряд поточечно сходится на про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
межутке [0,2π]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Если |
x = 0 или |
x = 2π , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
обращаются в |
|||||||||||||||
|
|
|
то все члены ряда ∑sinαnx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ноль, и ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Допустим, что 0 < x < 2π . Тогда 0 < |
<π , sin |
≠ 0 . Оцениваем час- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
+∞
тичные суммы ряда ∑sin nx по найденной выше формуле:
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
sin nx |
sin |
(n +1)x |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∑sin kx |
|
= |
|
2 |
|
|
2 |
|
≤ |
|
|
. |
||
|
|
sin |
x |
sin |
x |
|
||||||||
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2 |
78 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
При фиксированном x из указанного диапазона частичные суммы ряда ограничены. Подчеркнем, что в приведенной оценке слева находится произвольная частичная сумма ряда, поскольку n любое. В правой части находится величина, не зависящая от n . Далее, учитываем, что последователь-
ность {1nα}+∞n=1 монотонно сходится к нулю. По признаку Дирихле для чи-
+∞ |
|
сходится в точке x . |
словых рядов ряд ∑sinαnx |
||
n=1 |
n |
|
3) Выберем произвольное δ , 0 <δ <π и покажем, что ряд равномерно сходится на отрезке [δ,2π −δ]. В этом случае применяем признак Ди-
рихле равномерной сходимости функциональных рядов. Частичные суммы
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ряда ∑sin nx оцениваем так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∑sin kx |
|
≤ |
|
|
≤ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin |
x |
|
sin |
δ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
δ |
|
x |
|
δ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поскольку для x [δ,2π −δ] выполняется |
оценка |
≤ |
≤π − |
и, сле- |
|||||||||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
довательно, sin 2x ≥sin δ2 . Чтобы применить признак Дирихле, снова учи-
тываем, что числовая последовательность {1nα}+∞n=1 монотонно сходится к нулю.
+∞ |
|
не сходится |
4) Докажем теперь, что функциональный ряд ∑sinαnx |
||
n=1 |
n |
|
равномерно на отрезке [0,δ] при любом δ > 0. Для этого покажем, что он не удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости. Для произ-
|
|
|
|
|
|
|
2n |
sin kx |
|
|
|
π |
|
||
вольного n ≥1 рассмотрим сумму |
∑ |
и положим в ней x = |
. Ве- |
||||||||||||
α |
|
||||||||||||||
личина kx при изменении k |
|
k=n+1 |
k |
|
|
|
|
4n |
|||||||
от n +1 до 2n возрастает и принимает значе- |
|||||||||||||||
ния от |
π |
n +1 > |
π |
до |
π |
2n = π , |
то |
есть удовлетворяет условию |
|||||||
|
4 |
n |
4 |
|
4 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π < kx ≤ |
π . |
Следовательно, |
для указанных значений x и k выполняется |
||||||||||||
4 |
2 |
|
|
π , и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
неравенство sin kx >sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
2n |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
∑ sinαkx |
>sin |
π |
∑ |
. |
|||||||
|
|
|
|
α |
|||||||||||
|
|
|
|
k=n+1 k |
|
4 |
k=n+1 k |
Глава 2 |
79 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
Заметим теперь, что для всех значений k = n +1, n + 2 , …, 2n выполняется
неравенство kα ≤ k ≤ 2n |
(здесь |
учтено, |
что |
0 <α ≤1) и, следовательно, |
|||||||
1 |
≥ |
1 |
, и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kα |
2n |
2n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
= 1 |
|
|
||
|
|
|
|
sin π |
∑ ≥sin π n |
sin π . |
( ) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
k=n+1 |
4 |
2n |
2 |
4 |
|
|
Для любого δ > 0 при всех достаточно больших значениях n |
величина |
x = 21n попадает в промежуток [0,δ]. Из соотношения ( ) выводим, что для
рассматриваемого ряда не выполняется условие критерия Коши, и он не сходится равномерно.
n
ЗАМЕЧАНИЕ. Найденную выше сумму ∑sin kx можно было бы найти
k=1
по следующей схеме, использующей комплексные числа и формулу Эйлера:
eix = cos x +isin x, x .
Это означает, что cos x = Re(eix ) , sin x = Im(eix ) , где, как обычно, Re z и
Im z означают соответственно вещественную и мнимую части комплексного числа z . Тогда имеем:
n |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
1−ei(n+1)x |
|
||
∑sin kx = ∑sin kx = Im |
∑eikx |
|
= Im |
1−e |
ix |
. |
|
|||||
k=1 |
k=0 |
|
1 |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
||
Упрощая последнее выражение |
−ei(n+1)x |
, находим искомую сумму. О т- |
||||||||||
|
1−eix |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
сюда можно также найти значение суммы |
|
∑coskx . Детали вычислений |
||||||||||
предоставляются читателю. |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ТЕОРЕМА 7 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что для функционально- |
||||||||||||
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го ряда ∑an (x)bn (x) , |
x I |
выполняются следующие условия: |
|
|||||||||
n=1 |
|
числовая последовательность {an (x)}n+∞=1 |
|
|||||||||
1) для каждого x I |
явля- |
|||||||||||
ется монотонной; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) существует такая константа M , что для всех n , x I |
име- |
|||||||||||
ет место оценка | an (x) |≤ M ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2 |
80 |
Функциональные ряды |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
+∞
3) ряд ∑bn (x) равномерно сходится на промежутке I .
n=1
+∞
Тогда функциональный ряд ∑an (x)bn (x) равномерно сходится на проме-
n=1
жутке I .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим к равномерно сходящемуся ряду
+∞
∑bn (x) критерий Коши равномерной сходимости ряда. Выберем произ-
n=1
вольное ε > 0. В силу этого критерия, существует такое N , что при n ≥ N для любых значений p =1, 2, … и всех x I выполняется неравенство
n+p
∑ bk (x) <ε .
k=n+1
Применяя для произвольного фиксированного x I неравенство Абеля к
числовым последовательностям {a (x)}n+p |
и {b |
(x)}n+p |
, находим: |
||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
k=n+1 |
k |
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
|
n+q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∑ ak (x)bk (x) |
≤ (| an+1(x) | +2 | an+p (x) |) max |
|
∑ ak (x)bk (x) |
|
≤3Mε. |
|||||||||
|
k=n+1 |
|
1≤q≤p |
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
≤3M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<ε |
|
|
|
|
|
|
В силу произвольности ε , |
из критерия Коши (равномерной сходимости |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда) выводим равномерную сходимость ряда ∑an (x)bn (x) . |
|
|
|
||||||||||||
|
Теорема доказана. |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ПРИМЕР. Доказать равномерную сходимость ряда |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+∞ (−1)n−1 arctg nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∑ |
|
|
|
, 0 |
≤ x < +∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n=1 |
(n + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для произвольного α > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
(−1)n−1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
РЕШЕНИЕ. Покажем сначала, |
что функциональный ряд |
∑n=1 |
|
|
||||||||||
|
(n + x)α |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равномерно сходится на промежутке [0,+∞) . Это вытекает из следствия
признака Дирихле (аналога признака Лейбница). Действительно, достаточно заметить, что при любом x [0,+∞) числовая последовательность
|
1 |
+∞ |
|
|
|
|||
|
|
является монотонной и из оценки |
||||||
α |
||||||||
|
(n + x) |
n=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
≤ |
1 |
, 0 ≤ x < +∞ |
|
|
|
|
|
α |
α |
|||
|
|
|
|
(n + x) |
|
n |