ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0, что для всех x X , удовлетворяющих условию || x − a ||<δ имеет место оценка | f (x) − f (a) |<ε . Теперь найдем такое σ > 0 , что для всех t T , удовлетворяющих неравенству || t −b ||<σ , выполняются неравенства

| g1(t) − g1(b) |< δn , | g2 (t) − g2 (b) |< δn , ,| gn (t) − gn (b) |< δn .

Тогда для тех же значений t имеем следующую оценку для нормы разности элементов пространства n :

|| (g1(t), g2 (t), , gn (t)) −(g1(b), g2 (b), , gn (b)) ||<δ

и, следовательно,

| f (g1(t), g2 (t), , gn (t)) − f (g1(b), g2 (b), , gn (b)) |<ε.

Теорема доказана.

5.Функции, непрерывные на множестве

Вдальнейшем будет предполагаться, что области определения рассматриваемых функций не имеют изолированных точек.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, непрерывная в каждой точке множестве

X n , называется непрерывной на этом множестве.

ТЕОРЕМА 6 (ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА). Предположим, что функция f

определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве X n. Тогда она ограничена на множестве X и достигает своих точной верхней и точной нижней граней.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что функция f ограничена сверху. Доказательство проведем от противного. Допустим, что функция не является ограниченной сверху. Тогда найдется такая последовательность {xk }+∞k=1 точек множества X , что для каждого k выполняется неравенство

f (xk ) > k . Напомним, что любая последовательность точек множества X содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из X . Заменяя в случае необходимости последовательность {xk }+∞k=1 ее соответствующей подпоследовательностью, можно предполагать, что имеет место

выполняется соотношение f (xk ) → f (a) и, следовательно, последователь-

ность { f (xk )}+∞k=1 не является ограниченной. Это противоречит тому, что f (xk ) → +∞ при k → +∞.

Итак, функция f ограничена сверху. Обозначим: M =sup f (x) . Вы-

x X

берем последовательность {xk }+∞k=1 точек множества X , для которой

klim f (xk ) = M.

→+∞

Переходя в случае необходимости к подпоследовательности последовательности {xk }+∞k=1, можно предполагать, что эта последовательность является сходящейся к некоторой точке a X . В силу непрерывности функ-

тельности, f (a) = M . Мы доказали, что точная функция f достигает своей точной верхней грани.

Случай ограниченности снизу и точной нижней грани рассматривается аналогично (или сводится к рассмотрению функции − f .

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 7 (ТЕОРЕМА О ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ). Предположим,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению области, найдется непрерывная кривая L ={x =ϕ(t) :t [α,β]}, лежащая в множестве G и такая, что ϕ(α) = a , ϕ(β) =b . Рассмотрим сложную функцию z = f (ϕ(t)), t [α,β]. Она является непрерывной по теореме о непрерывности сложной функции. Кроме того, выполняются равенства f (ϕ(α)) = f (a) , f (ϕ(β)) = f (b). Применяя теорему Коши о промежуточных значениях функции, определенной и непрерывной на отрезке, получаем, что существует точка ξ [α,β], для которой f (ϕ(ξ)))=C . Обозначая c =ϕ(ξ) G , получаем: f (c) =C .

Что и требовалось доказать.

Напомним, что замыкание области называется замкнутой областью. СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ. Предположим, что функция f определена и непрерывна в замкнутой области G , a , b G . Тогда для любого значения C , лежащего между f (a) и f (b) , существует точка c G , такая, что

f (c) =C .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: f (a) = A , f (b) = B . Если A = B , то утверждение тривиально. Не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что A < B . Предположим, что число C лежит между A и B . Случаи C = A иC = B также тривиальны. Поэтому достаточно ограничиться предположением, что A <C < B . Выберем число ε > 0, удовлетворяющее неравенствам ε <C − A , ε < B −C , то есть так чтобы выполнялись неравенства A +ε <C < B −ε . В силу непрерывности функции в точке a , найдется точка a0 G (именно из G , а не G , это нужно, чтобы воспользоваться теоремой), такая, что | f (a0 ) − f (a) |<ε . Аналогично получаем, что найдется точка b0 G , такая, что | f (b0 ) − f (b) |<ε . Тогда

f (a0 ) < f (a) +ε = A +ε < C < B −ε < f (b0 ),

то есть f (a0 ) <C < f (b0 ) . В силу предыдущей теоремы, найдется точка c G , для которой f (c) =C .

Следствие доказано.

6. Частные производные

Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности

точки a = (a1,a2, ,an ) n. Зафиксируем значения всех переменных x1 , x2 ,…, xn , кроме первой, полагая x2 = a2 , x3 = a3 , …, xn = an и рассмотрим функцию одной переменной f (x1,a2, ,an ) . Если эта функция имеет производную по x1 в точке a1 , то эта производная называется частной производной по переменной x1 функции f в точке a и обозначается одним из следующих способов:

Мы будем использовать преимущественно первый способ.

Аналогично определяются частные производные по другим пере-

менным, ∂f (a) , …, ∂f (a). Эти производные называются также частны-

∂x2 ∂xn

ми производными первого порядка (в отличие от вводимых далее производных более высокого порядка).

Предположим, что точка x лежит в области определения функции f . Введем следующее обозначение: ∆x = x − a , называемое приращением аргумента. Отметим, что в данном случае приращение аргумента является элементом пространства n : если x = (x1, x2, , xn ) , то

∆x = (∆x1,∆x2, ,∆xn ) = (x1 − a1, x2 − a2, , xn − an ),

‖∆x‖= (∆x1)2 + (∆x2 )2 + + (∆x2 )2 .

Приращением функции f в точке a , соответствующим приращению аргумента ∆x , называется величина

∆f (a) = f (a + ∆x) − f (a) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f , определенная в некоторой окрестности

точки a n , называется дифференцируемой в точке a , если приращение этой функции в точке a может быть представлено в виде:

при ‖∆x‖→0 , где L1, L2 ,…, Ln — некоторые числа.

ЗАМЕЧАНИЕ. Обратим внимание читателя, что определение дифференцируемости функции нескольких переменных является точным аналогом определения дифференцируемости функции одной переменной, или иначе: приведенное определение при n =1 переходит в определение дифференцируемости функции одной переменной.

ЗАМЕЧАНИЕ. Выражение o‖( ∆x‖) имеет смысл, аналогичный случаю функций одной переменной: это функция вида α(∆x)‖∆x‖, где функция α определена в некоторой выколотой окрестности точки 0 и α(∆x) →0 при

∆x →0 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если функция f дифференцируема в точке a , то она непрерывна в этой точке. Действительно, из соотношения ( ) следует, что

f (a + ∆x) − f (a) →0 ,

если ∆x →0 .

ТЕОРЕМА 8. Если функция f дифференцируема в точке a n , то в

этой точке существуют частные производные ∂f (a),…, ∂f (a) и для

∂x1 ∂xn

констант Li из определения дифференцируемости выполняются соотно-

шения Li = ∂∂xfi (a), i =1, 2 , …, n .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что ∆x1 ≠ 0, ∆x2 = 0 , …, ∆xn = 0 . Обозначим: ∆x = (∆x1,0, ,0). Тогда ‖∆x‖=| ∆x1 |, и из ( ) получаем:

f (a1 + ∆x1,a2, ,an ) − f (a1,a2, ,an ) = A1∆x1 +α(∆x) | ∆x1 |.

Деля обе части соотношения на ∆x1 и переходя к пределу при ∆x1 →0 , по-

лучаем, что существует частная производная ∂f (a) и выполняется равен-

∂x1

ство ∂f (a) = L1 . Аналогично рассматриваются остальные частные произ-

∂x1

водные.

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что числа Li в определении дифференцируемости находятся единственным образом. При этом формула ( ) может быть переписана следующим образом:

∆f (a) = f (a + ∆x) − f (a) = ∑n ∂∂f (a)∆xi + o‖( ∆x‖).

i=1 xi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейная функция

df (a) = ∑n ∂∂f (a)∆xi

i=1 xi

переменной ∆x называется дифференциалом функции f в точке a . ЗАМЕЧАНИЕ. Величины ∆xi принято в данном контексте обозначать

через dxi , и выражения для дифференциала функции приобретает вид:

df (a) = ∑n ∂∂f (a)dxi .

i=1 xi

Напомним, что в случае функций одной переменной справедливы следующие утверждения:

1)функция, дифференцируемая в точке, является непрерывной в этой точке;

2)дифференцируемость функции в точке равносильна существованию производной в этой точке.

В случае функций нескольких переменных ситуация становится существенно другой. Свойство 1) остается в силе. Однако связь между дифференцируемостью и наличием частных производных становится существенно более сложной. Приведем соответствующие примеры.

ПРИМЕР. Если функция f определена в некоторой окрестности точки

a n , непрерывна в этой точке и имеет частные производные ∂∂xfi (a) ,

i =1, 2 ,…, n , то она не обязательно является дифференцируемой в этой точке. Рассмотрим, например, функцию f (x, y), определенную на плоско-

сти 2 следующим образом:

оценка: 2 | x | | y |≤ x2 + y2 . Действительно, ее можно переписать в виде

2 | x | | y |≤| x |2 +| y |2 ,

или

| x |2 +| y |2 −2 | x | | y |≥ 0, (| x | −| y |)2 ≥ 0

Тогда получаем:

при (x, y) →(0,0) .

При фиксированном y ≠ 0 существование частной производной по x оче-

чаях. Иначе говоря, функция f тождественно равна единице всюду, кроме координатных осей, где она тождественно равна нулю. Тогда ∂∂fx (0,0) = 0,

∂∂fy (0,0) = 0. Однако, данная функция не является непрерывной в точке

(0,0) и, следовательно, не является дифференцируемой в этой точке. Приводимая ниже теорема дает достаточные условия дифференци-

руемости функции в точке в терминах ее частных производных.

ТЕОРЕМА 9. Предположим, что функция f определена в некоторой

окрестности точки c n и имеет в этой окрестности частные производные по каждой из переменных, непрерывные в точке c . Тогда функция f дифференцируема в точке c .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся рассмотрением случая n = 2. Общий случай отличается от него лишь более громоздкой записью. Предположим, что функция f определена в окрестности U точки c = (a,b) 2 и имеет в

Uδ (c) U . Зададим приращения ∆x и ∆y независимой переменной, удов-

летворяющие неравенству ∆x2 + ∆y2 <δ2 . Тогда

(a + ∆x,b + ∆y) U.

Рассмотрим соответствующее приращение функции f :

∆f (a,b) = f (a + ∆x,b + ∆y) − f (a,b) =

= ( f (a + ∆x,b + ∆y) − f (a,b + ∆y)) + ( f (a,b + ∆y) − f (a,b)).

Применяя к выражениям в каждой из скобок формулу конечных приращений, получаем:

где θ1 =θ1(∆x,∆y) , θ2 =θ2 (∆y) , 0 <θ1,θ2 <1.

Обозначим: