2. Открытые и замкнутые множества

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X n — непустое множество. Точка x X называется внутренней точкой этого множества, если существует такое ε > 0, что Uε (x) X .

ЗАМЕЧАНИЕ. Иначе говоря, точка x X называется внутренней точкой множества X , если вместе с этой точкой множество X содержит ε - окрестность этой точки при некотором значении ε .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество X n называется открытым, если все его точки являются внутренними. Пустое множество по определению считается открытым.

Примером открытого множества является все множество n .

ЛЕММА. Для любых a n и R > 0 шар UR (a) является открытым множеством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x UR (a) . Тогда || x − a ||< R . Обозначим:

ε = R−|| x − a || (> 0).

Покажем, что Uε (x) UR (a) . Действительно, предположим, что y Uε (x) , то есть || y − x ||<ε . Тогда, применяя неравенство треугольника, получаем:

|| y − a ||≤|| y − x || +|| x − a ||<ε+|| x − a ||= (R−|| x − a ||)+|| x − a ||= R,

то есть || y − a ||< R , и y UR (a) . Мы доказали требуемое вложение. Лемма доказана.

Часто удобно давать геометрическую интерпретацию вводимых здесь понятий. Обычно эта делается в случае n = 2. При этом

ρ(x, y) =|| y − x ||

1 То есть кругом, из которого исключена ограничивающая его окружность.

Читателю рекомендуется сделать рисунок к доказательству леммы. Обратите внимание, что число ε из доказательства леммы — это расстояние от точки x до окружности радиуса R , ограничивающей круг UR (a) (см. рисунок ниже).

На рисунке красным цветом выделен отрезок, соединяющий точки a и x , длина этого отрезка, то есть расстояние между этими точками, равна ‖x − a‖, длина отрезка, выделенного зеленым цветом, равна R−‖x - a‖. В доказательстве леммы было установлено, что открытый шар (в данном случае — круг) с центром в точке x и радиусом R−‖x - a‖ целиком лежит в «большом» шаре.

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что 1) пересечение конечного числа открытых подмножеств пространст-

ва n является открытым подмножеством;

2) объединение любого (не обязательно конечного) семейства открытых подмножеств пространства n является открытым подмножеством;

3) убедившись, что множество, состоящее из одной точки a n не является открытым, доказать, что свойство 1), вообще говоря, не имеет место в случае бесконечного семейства подмножеств.

УКАЗАНИЕ. В случае 3) рассмотреть пересечение открытых множеств

+∞

U1n (a)

n=1

с произвольной точкой a n .

ЗАМЕЧАНИЕ. В теории множеств пересечение пустого семейства множеств считается пустым. Поэтому свойство 2) предыдущего упражнения остается в силе и для пустого семейства открытых множеств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть x n . Любое открытое множество, содержащее точку x , называется окрестностью этой точки.

Окрестности точки x будем обозначать через U (x), снабжая символ U в случае необходимости индексами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть x n . Выколотой окрестностью точки x называется множество вида U (x) \{x}, где U (x) — произвольная окрестность точки x .

Иначе говоря, выколотая окрестность — это «обычная» окрестность, из которой удалена сама точка x . Отметим, что выколотая окрестность не является окрестностью в «обычном» смысле слова. Выколотые окрестности точки x будут обозначаться следующим образом: U′(x). Аналогично определяется выколотая ε -окрестность точки x : это множество

Uε′(x) =Uε (x) \{x},

то есть ε -окрестность точки x , из которой удалена точка x .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка a n называется предельной точкой множества A n , если существует последовательность {xk }+∞k=1 точек множества A, каждая из которых не совпадает с точкой a и такая, что nlim→+∞ xn = a .

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать следующее утверждение. Точка a n является предельной точкой множества A n , тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 выполняется соотношение A ∩Uε′(a) ≠ .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если точка a A не является предельной для множества A, она называется изолированной точкой этого множества. Дадим прямое определение изолированной точки. Запишем условие того, что точка a является предельной, пользуясь предыдущим упражнением:

ε > 0 A ∩Uε′(a) ≠ .

Тогда отрицание последнего высказывания выглядит так:

ε > 0 A ∩Uε′(a) = .

Последнее условие можно переписать так:

ε > 0 A ∩Uε (a) ={a}.

Поэтому можно дать следующее определение изолированной точки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка a A называется изолированной, если сущест-

вует ε -окрестность этой точки, не содержащая точек множества A, отличных от a .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество A n называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Пустое множество считается по определению замкнутым.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Замкнутым шаром в пространстве n с центром в точке a n и радиусом R > 0 называется множество

{x : x n , || x − a ||≤ R}.

Следующее утверждение дает обоснование приведенному определе-

нию.

ЛЕММА. Замкнутый шар в пространстве n является замкнутым множеством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для произвольных a n и R > 0 обозначим:

B ={x : x n , || x − a ||≤ R}.

поскольку xk B . Переходя к пределу в неравенстве

|| y − a ||≤|| y − xk || +R

при k → +∞, получаем, что || y ||≤ R , то есть y B , что и требовалось дока-

вести отсюда результат предыдущей леммы.

УПРАЖНЕНИЕ. Пользуясь только определениями открытого и замкнутого множества, доказать, что для любых чисел a , b, удовлетворяющих условию −∞ < a <b < +∞ промежуток (a,b) является открытым множеством, промежуток [a,b] — замкнутым множеством, а промежутки (a,b] и [a,b) не являются ни открытыми, ни замкнутыми. Сформулировать аналогичные утверждения для случая неограниченных промежутков.

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что

1) пересечение любого (не обязательно конечного) семейства замкнутых подмножеств пространства n является замкнутым подмножеством;

2) объединение конечного числа замкнутых подмножеств пространства n является замкнутым подмножеством;

3) доказать, что свойство 2), вообще говоря, не имеет место в случае бесконечного семейства замкнутых подмножеств.

УКАЗАНИЕ. В случае 3) рассмотреть объединение замкнутых шаров с центром в произвольной точке a и радиусами 1− 1n , n = 2, 3, … .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X n . Множество, получаемое из множества X путем добавления всех его предельных точек, называется замыканием множества X и обозначается через X .

ЛЕММА. Замыкание произвольного множества X n является замкнутым множеством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если X = , то множество предельных точек множества X является пустым, и X = . Пустое множество является замкнутым по определению.

Предположим теперь, что X ≠ и a — предельная точка множества X . Докажем, что точка a является предельной также и для множества X . Дальнейшие построения рекомендуется сравнивать с рисунком, где изображен случай 2 .

Выберем произвольное ε > 0. По определению предельной точки

δ < b − a. Такое число можно выбрать, поскольку выполняются неравенства

ε − b − a > 0 , b − a > 0.

ЗАМЕЧАНИЕ. Число δ выбирается так, чтобы шар радиуса δ с центром в точке b, «малый» круг на рисунке, целиком лежал в шаре радиуса ε с центром в точке a , «большом» круге на рисунке, это гарантируется условием δ <ε − b − a . С другой стороны, при достаточно малом δ точка a не будет принадлежать «малому» кругу, выполнение этого условия обеспечивается неравенством δ < b − a .

Точка b является предельной точкой множества X . Поэтому найдется точка c X , такая, что c −b <δ . Для точки c имеем соотношения:

c − a = c −b +b − a ≤ c −b + b − a < c

< δ + b − a <ε − b − a + b − a =ε

<ε−b−a

Итак, точка c принадлежит «большому кругу». С другой стороны, выполняется неравенство

c − a = b − a + c −b ≥ b − a − c −b > b − a −δ > 0

<δ

Из соотношения c − a > 0 следует, что c ≠ a . Итак, в круге радиуса ε с центром в точке a найдется точка , отличная от точки a . В силу произвольности ε , это означает, что точка c будет предельной для множества X , что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Приведенную лемму можно переформулировать следующим образом: для замкнутого множества выполняется соотношение X = X . Из доказанной леммы непосредственно вытекает также следующее утвержде-

ние: множество X n замкнуто в том и только том случае, когда

X = X .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка a n называется граничной точкой множества X , если любая окрестность этого множества содержит как точки множества X , так и точки, не принадлежащие множеству X . Границей множества X называется множество всех граничных точек множества X .

Граница множества X обозначается через ∂X .

ЗАМЕЧАНИЕ. Легко проверить, что в определении граничной точки достаточно ограничиться не произвольными окрестностями, а ε -окрест- ностями: точка a n является граничной точкой множества X , в том и только том случае, когда для любого ε > 0 множество Uε (a) содержит как точки множества X , так и точки, не принадлежащие множеству X .

ПРИМЕР. Пусть B0 ={x : x n ,| x |<1} —открытый шар единичного радиуса с центром в нуле:, B ={x : x n ,| x |≤1} — замкнутый единичный шар с центром в нуле, S ={x :| x |=1} —сфера единичного радиуса с цен-

тром в нуле. Легко проверить, что ∂B = ∂B0 = S . УПРАЖНЕНИЕ. Доказать следующие утверждения.

1) Множество X n замкнуто в том и только том случае, когда

∂X X .

2)Если X — замкнутое (открытое) множество, то множество

n \ X является открытым (замкнутым).

3) Для любого множества X n множество ∂X является замкну-

тым.

Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 2. Для непустого множества X n следующие условия равносильны:

1)множество X является замкнутым и ограниченным;

2)любая последовательность элементов множества X содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке множества X .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) 2) Пусть {xk }+∞k=1 — произвольная последовательность точек множества X . Множество X является ограниченным. Поэтому данная последовательность также является ограниченной. В силу леммы Больцано-Вейерштрасса, эта последовательность содержит подпоследовательность {xnk }+∞k=1, сходящуюся к некоторой точке a . Если для н е-

которого k выполняется равенство a = xnk , то a X , поскольку xnk X . Если для всех k xnk ≠ a , то точка a является предельной точ-

кой последовательности {xnk }+∞k=1 и, следовательно, a X , в силу замкнуто-

сти множества X .

2) 1) Покажем сначала, что множество X является ограниченным. Допустим противное. Это означает, что для любого M > 0 найдется точка x X , для которой | x |> M . Отсюда следует, что можно построить по-

Любая подпоследовательность этой последовательности не является ограниченной и, следовательно, не является сходящейся. Полученное противоречие доказывает ограниченность множества X .