- •Глава 1. Функции нескольких переменных
- •1. Предварительные определения
- •2. Открытые и замкнутые множества
- •3. Предел функции нескольких переменных
- •4. Функции, непрерывные в точке
- •5. Функции, непрерывные на множестве
- •6. Частные производные
- •7. Производная сложной функции
- •8. Производные высших порядков
- •9. Оператор Лапласа
- •10. Неявные функции
- •11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •12. Экстремумы функций нескольких переменных
- •Глава 2. Функциональные последовательности и ряды
- •1. Поточечная и равномерная сходимость.
- •2. Функциональные ряды.
- •3. Признаки Абеля и Дирихле
- •4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.
- •5. Степенные ряды
- •6. Ряд Тейлора
- •Исторические сведения
- •Абель
- •Адамар
- •Д’Аламбер
- •Больцано
- •Вейерштрасс
- •Дирихле
- •Коши
- •Лаплас
- •Лейбниц
- •Ньютон
- •Сильвестр
- •Тейлор
Приоритетный национальный проект «Образование» Южный федеральный университет
Факультет математики, механики и компьютерных наук
В.С. Пилиди
Электронное учебное пособие
Математический анализ
Функции нескольких переменных Функциональные ряды
Ростов-на-Дону
2009
ç |
|
è |
|
|
|
Управляющие клавиши
Результат |
Действие |
|
|
Включить/выключить оглавление |
F4 |
|
|
Вся страница |
Ctrl+L |
|
|
Предыдущий экран |
PgUp |
|
|
Следующий экран |
PgDn |
|
|
Первая страница |
Home |
|
|
Последняя страница |
End |
|
|
Следующая страница |
→ |
|
|
Предыдущая страница |
← |
|
|
Следующий вид |
Alt + → |
|
|
Предыдущий вид |
Alt + ← |
|
|
Увеличить |
Ctrl + «знак равенства» |
Уменьшить |
Ctrl + «дефис» |
|
|
ç |
|
è |
|
|
|
Глава 1. Функции нескольких переменных
1. Предварительные определения
Напомним некоторые определения из курса алгебры. Пусть n . Через n будем обозначать множество всех векторов-строк
a = (a1,a2, ,an ),
где a1 , a2 , …, an — произвольные вещественные числа. Сами эти векторы будем иногда называть точками, а числа a1 , a2 , …, an — координатами
точки. Множество 1 отождествляется с вещественной прямой . Обычно в этой главе рассматривается случай n >1. К случаю n =1 мы будем обращаться только для иллюстрации вводимых понятий.
В n вводятся операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число по следующим формулам:
(x1, x2, , xn ) + (y1, y2, , yn ) = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn ),
α(x1, x2, , xn ) = (αx1,αx2, ,αxn ).
Сэтими операциями множество n становится n -мерным вещественным
линейным пространством. Нулевой вектор пространства n , то есть ве к- тор, все координаты которого равны нулю, будем обозначать так же, как и нулевой число символом 0. Что имеется в виду, когда используется подобная запись, число или вектор, всегда должно быть ясно из контекста. Например, в утверждении
для любого x n выполняется равенство 0 x = 0
Глава 1 |
4 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
в левой части имеется в виду число 0, а в правой части — нулевой вектор. Норма (или длина) вектора x = (x1, x2, , xn ) определяется равенст-
вом || x ||= x12 + x22 + + xn2 . Приведем некоторые свойства нормы.
1.Для любого x n выполняется неравенство || x ||≥ 0 , причем равенство || x ||= 0 имеет место тогда и только тогда, когда x = 0.
2.Для любых x n и α имеет место равенство
||αx ||=|α | || x ||.
3.Для любых x , y n имеет место оценка || x + y ||≤|| x || +|| y ||.
Первые два свойства очевидны. Для доказательства третьего свойства будет использовано следующее вспомогательное утверждение.
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ЛЕММА. Для любых x , y n |
имеет место оценка |
∑xi yi |
|
≤ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если x = 0 или y = 0, то левая и правая части рав- |
ны нулю, и требуемое соотношение, очевидно, выполняется. Предположим, что x ≠ 0 и y ≠ 0.
Для a , b ≥ 0 имеем:
|
(a −b)2 = a2 − 2ab +b2 ≥ 0, ab ≤ a2 |
+ b2 . |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||
Заменяя a на a |
|
при произвольном t > 0, а b на |
b |
|
, отсюда выводим: |
|||
t |
||||||||
|
|
|
||||||
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ab ≤ a2t |
+ b2 . |
|
|
|
|
|
2 |
2t |
|
|
|
|
Применяем это неравенство к числам a =| xi | , b =| yi |:
|
|
|
x2t |
|
y2 |
|
| x |
| | y |
|≤ |
i |
+ |
i |
. |
|
||||||
i |
i |
2 |
|
2t |
||
|
|
|
Теперь суммируем по i от 1 до n :
Глава 1 |
5 |
Функции нескольких переменных |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Буняковский |
|
|
Коши |
|
n |
|
|
|
|
n x2t |
|
y2 |
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|||
∑| xi | | yi | ≤ ∑ |
i |
+ |
i |
|
= |
|
|| x ||2 + |
|
|| y |
||2 . |
|||||||||
2 |
2t |
2 |
2t |
||||||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и далее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∑xi yi |
|
≤ ∑| xi | | yi | ≤ |
|
|| x ||2 + |
|| y ||2 . |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
||||
Полагая здесь t = |
|| y || |
, получаем доказываемое соотношение. |
|||||||||||||||||
|| x || |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма доказана.
Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняков-
ского.
Перейдем теперь к доказательству свойства 3. Воспользуемся равен-
ством
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
n |
x + y |
|
|
|
2 |
= ∑(xi + yi )2 |
= ∑xi2 |
+ 2∑xi yi + ∑yi2 = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
n
= x2 + 2∑xi yi + y2 .
i=1
Оценивая модуль среднего слагаемого в правой части с помощью неравенства Коши-Буняковского, получаем:
|| x + y ||2 ≤|| x ||2 +2 || x || || y || +|| y ||2 = (|| x || +|| y ||)2,
откуда и следует доказываемое утверждение.
Свойство 3 называется неравенством треугольника для нормы. Отметим также следующее важное соотношение: для любого векто-
ра x n max | xi |≤| x |≤ |
|
max | xi |. |
|
n |
|
||
1≤i≤n |
|
1≤i≤n |
|
Действительно, пусть c = max | xi | . Возьмем значение |
i0 , 1≤i0 ≤ n , |
||
|
|
1≤i≤n |
|
для которого c =| xi0 |. Тогда для любого i , 1≤i ≤ n выполняется неравенство | xi |≤ c , и
Глава 1 |
6 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
c2 = x2 |
≤ x2 |
+ x2 |
+ + x2 |
≤ nc2. |
i |
1 |
2 |
n |
|
0 |
|
|
|
|
Извлекая квадратный корень, получаем искомое неравенство.
В n можно ввести расстояние между произвольными точками, определяемое так: если
x = (x1, x2, , xn ), |
y = ( y1, y2, , yn ), |
то расстояние ρ(x, y) задается равенством
ρ(x, y) =‖x − y‖= (x1 − y1)2 + (x2 − y2 )2 + + (xn − yn )2 .
Напомним также, что введенное выше расстояние обладает следующими свойствами:
1. для любых x , y n имеет место неравенство ρ(x, y) ≥ 0 ; если
ρ(x, y) = 0, то x = y ;
2.для любых x , y n имеет место равенство ρ(x, y) = ρ(y, x) ;
3.для любых x , y , z n выполняется неравенство
ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) .
Неравенство, указанное в свойстве 3, называется неравенством треугольника. Проверим свойство 3. Для произвольных x , y , z n имеем:
ρ(x, z) =|| x − z ||=|| (x − y) + (y − z) ||≤|| x − y || +|| y − z ||= ρ(x, y) + ρ(y, z).
Введем теперь понятия ε -окрестности точки в n и понятие предела последовательности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть a n , ε > 0. Множество:
Uε (a) ={x : x n‖, x − a‖<ε}.
называется ε -окрестностью точки a .
Множество Uε (a) называется также шаром в пространстве n с центром в точке a и радиусом ε .
Глава 1 |
7 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. Чуть ниже мы уточним приведенное определение и будем называть введенное множество открытым шаром в пространстве n .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть {xk }+∞k=1 — последовательность точек простран-
ства n . Точку a n называют пределом точек xk при k → +∞, если
lim || xk − a ||= 0.
k→+∞
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Последовательность точек пространства n , которая сходится к некоторой точке a n , называется сходящейся. Как и в случае предела числовой последовательности, элементарно доказывается, что предел сходящейся последовательности определяется ей однозначно.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Определение предела может быть переформулировано одним из следующих способов.
1)Для любого ε > 0 найдется такое K , что для всех k ≥ K выполняется неравенство || xk − a ||<ε .
2)Для любого ε > 0 найдется такое K , что для всех k ≥ K выполняется соотношение xk Uε (a).
|
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если |
последовательность {xk }k+∞=1 точек пространст- |
||
ва n |
сходится к |
точке |
a n , это отмечается стандартным образом: |
|
lim |
x |
= a или x |
→ a при k → +∞. |
|
k→+∞ |
k |
k |
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Многие утверждения и определения, касающиеся последовательностей элементов пространства n , совершенно аналогичны случаю числовых последовательностей. Поэтому некоторые из них будут опущены (например, определение подпоследовательности).
Следующее утверждение связывает сходимость последовательности точек пространства n и последовательностей их координат.
Глава 1 |
8 |
Функции нескольких переменных |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Вейерштрасс |
|
|
|
Больцано |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 1. Пусть {xk }+∞k=1 — последовательность точек пространства n ,
x |
= (x(1) |
, x(2) |
, , x(n) ), |
k =1,2, . |
k |
k |
k |
k |
|
Последовательность {xk }+∞k=1 сходится к точке a = (a1,a2, ,an) n
при k → +∞ в том и только том случае, когда для каждого i =1, 2, …, n
имеет место равенство lim |
x(i) = a . |
|
|
|
|
|
|
|
k→+∞ |
k |
i |
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого i =1, 2, …, n выполняется доказан- |
||||||||
ное выше неравенство | x(i) − a |
|≤|| x |
− a ||≤ |
|
max | x( j) − a |
|
|. Сформули- |
||
n |
j |
|||||||
k |
i |
k |
|
|
1≤ j≤n |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рованное утверждение непосредственно вытекает из этого соотношения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество X n называется ограничен-
ным, если существует такая константа M , что для каждого x X выполняется оценка | x |≤ M .
ЗАМЕЧАНИЕ. Легко проверить, что множество M n является ограниченным в том и только том случае, когда для любого i =1, 2, …, n множество всех i -х координат точек множества M является ограниченным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность {xk }+∞k=1 элементов пространст-
ва n называется ограниченной, если множество ее значений ограничено, то есть существует такая константа M , что для всех k n выполняется оценка || xk ||≤ M .
ЛЕММА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА. Из любой ограниченной последовательности элементов пространства n можно выделит сходящуюся подпоследовательность.
Глава 1 |
9 |
Функции нескольких переменных |
||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {xk }+∞k=1 — ограниченная последовательность элементов пространства n . Введем в рассмотрение координаты точек xk :
xk = (xk(1), xk(2), , xk(n) ).
Для каждого из указанных значений i последовательностей i -х координат {xk(i)}+∞k=1 является ограниченной.
Из ограниченности числовой последовательности {xk(1)}+∞k=1 и леммы Больцано-Вейерштрасса для числовых последовательностей следует, что эта последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность
{x(1)}+∞ . Заменяя исходную последовательность элементов пространст-
nk k=1
ва n ее подпоследовательностью {xnk }+∞k=1, будем считать что у исходной
последовательности элементов пространства n последовательность первых координат является сходящейся. Теперь рассматриваем последовательность вторых координат, то есть последовательность {xk(2)}+∞k=1. Эта последовательность является ограниченной и, следовательно, содержит схо-
дящуюся подпоследовательность {x(2)}+∞ . Снова заменяем последователь-
nk k=1
ность {xk }+∞k=1 ее подпоследовательностью {xnk }+∞k=1. При этом последова-
тельность вторых координат становится сходящейся. Последовательность первых координат останется сходящейся как подпоследовательность сходящейся числовой последовательности. Продолжая этот процесс, мы получим из исходной последовательности элементов пространства n ее сходящуюся подпоследовательность.
Лемма доказана.